132导数与函数的极值-浙江省瑞安市上海新纪元高级中学高中数学人教A版选修2-2课件(共32张PPT

1.3.2函数极值与导数知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf用“导数法”求单调区间的步骤:注意：函数定义域①求'()fx②令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间③求单调区间aoht'0haht问题：如图表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象2()4.96.510httt单调递增单调递减0)(th0)(thaatat归纳:函数在点处,在的附近,当时,函数h(t)单调递增，;当时,函数h(t)单调递减,。()htta0)(ah0)(th0)(thyxaobyfx（3）在点附近,的导数的符号有什么规律?,abyfx（1）函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?yfx,ab（2）函数在点的导数值是多少?yfx,ab(图一)问题：0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxyyfxohgfedc(图二)yxaobyfx(图一)0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxyyfxohgfedc(图二)极大值f(b)点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考：极大值一定大于极小值吗？yfx6x5x4x3x2x1xabxy（1）如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？o（2）如果把函数图象改为导函数的图象?'yfxyfxyfx答：'yfx1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。由，得：x＞2,或x＜-2时;由，得：-2＜x＜2时。例4：求函数的极值.31443fxxx31443fxxx'2422fxxxx'0fx'0,fx解:∵∴'0fx当x变化时，的变化情况如下表：',fxfxx'fxfx,22,22,28343∴当x=-2时,f(x)的极大值为28(2)3f423f令解得x=2,或x=-2.0022单调递增单调递增单调递减当x=2时,f(x)的极小值为22•探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)x3若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；解方程，当时：'0fx0fx'0fx0x'00fx0fx0x'0fx'0fx'0fx练习：下列结论中正确的是（）。A、导数为零的点一定是极值点。B、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值。C、如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值。Ｄ、极大值一定大于极小值。B3fxx0xy(最好通过列表法)巩固练习：求函数的极值33fxxxx'fxfx,11,11,20011单调递增单调递减单调递减当时,有极大值，并且极大值为2)(xf)(xf∴当时,有极小值，并且极小值为2.2.1x1xx解:∵∴令，得，或下面分两种情况讨论：（1）当，即时；（2）当，即，或时。当变化时，的变化情况如下表：33fxxx'0fx'233fxx'2330fxx1x1.x'0fx11x1x1x',fxfx思考：已知函数在处取得极值。（1）求函数的解析式（2）求函数的单调区间322fxaxbxx2,1xxfxfxfxfx解：（1）∵在取得极值,∴即解得∴（2）∵，由得∴的单调增区间为由得的单调减区间为'2322fxaxbxfx2,1xx124203220abab11,32ab3211232fxxxx'22fxxx'0fx12xx或'0fx21x)1,2(,21,或0)1(,0)2(ff函数在时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对223)(abxaxxxf1x3,3ba11,4ba1,4ba11,4ba11,4baC，解:由题设条件得：0)1(10)1(/ff0231012baaba解之得11433baba或注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验探究点一求函数的极值[典例精析]求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2e－x;(2)y＝lnxx.[解](1)函数的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e2.(2)函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－lnxx2.令y′＝0，即1－lnxx2＝0，得x＝e.x(0，e)e(e，＋∞)y′＋0－y1e由表可知，当x＝e时，函数有极大值1e.[类题通法]求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求函数的定义域；(2)求函数的导数f′(x)；(3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．[针对训练]1．求下列函数的极值：(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值143极小值－6∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝143，f(x)极小值＝－6.(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2x2＋1－4x2x2＋12＝－2x－1x＋1x2＋12.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值－3极大值－1由表可以看出：当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且f(－1)＝－22－2＝－3；当x＝1时，函数f(x)有极大值，且f(1)＝22－2＝－1.探究点二已知函数的极值求参数[典例精析]已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．[解]∵y＝f(x)在x＝－1时有极值为0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，∴f′－1＝0，f－1＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0.解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9.①当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，y＝f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．②当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)40由表可知，f(x)在x＝－1处取极小值且f(－1)＝0.∴a＝2，b＝9.[类题通法]已知函数极值点或极值求参数的两个要领列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．验证因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.[针对训练]2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系知－2b3a＝0，①c3a＝－1，②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，①3a－2b＋c＝0，②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)·(x＋1)．当x－1或x1时f′(x)0，当－1x1时，f′(x)0.∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数取得极小值，x＝1为极小值点．探究点三函数极值的综合问题[典例精析]已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．[解]因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.当x－1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知，m的取值范围是(－3,1)．[类题通法](1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．[针对训练]3．若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4”在x＝43处取得极值，其他条件不变，求m的取值范围．解：由题意可得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′43＝0，可得a＝2，所以f(x)＝－x3＋2x2－4，则f′(x)＝－3x2＋4x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝43，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)00，4