25数列的单调性和最大（小）项-浙江省瑞安市上海新纪元高级中学高中数学人教A版必修5学案及练习（无答

数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法[来源:学|科|网Z|X|X|K]①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法,即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性．例1已知函数f(x)＝1－2xx＋1(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．试判断数列的单调性．[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]反思感悟研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1x2，而数列只需研究相邻两项an＋1，an，证明难度是不一样的．另需注意，函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列an＝f(n)一定单调，反之不成立．跟踪训练1数列{an}的通项公式为an＝－3×2n－2＋2×3n－1，n∈N*.求证：{an}为递增数列．[来源:学科网ZXXK]二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用an≥an＋1，an≥an－1(n≥2)求数列中的最大项an；利用an≤an＋1，an≤an－1(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2在数列{an}中，an＝n－2018n－2019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．反思感悟本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2已知数列{an}的通项公式an＝411－2n，则{an}的最大项是()A．a3B．a4C．a5D．a6[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]例3已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值．[来源:学科网ZXXK]反思感悟有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3已知(－1)na＜1－12n对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是．[来源:学_科_网Z_X_X_K][来源:学科网ZXXK]例4已知数列{an}的通项公式为an＝17()9nn，n∈N*，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．[来源:学科网]反思感悟如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n－92n，n∈N*，求{bn}的最大值．三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{an}递增⇔an＋1＞an恒成立；数列{an}递减⇔an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5已知数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围．跟踪训练5数列{an}中，an＝2n－1－k·2n－1，n∈N*，若{an}是递减数列，求实数k的取值范围．