【原创】高中必修2：圆常考点讲义

圆圆常考点圆的方程标准方程222()()xaybr①经过点)5,1(),0,6(BA两点，且圆心在直线0872:yxl上的圆的方程②ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),ABC求它的外接圆的方程.③【2015·北京】圆心为1,1且过原点的圆的方程是（）A．22111xyB．22111xyC．22112xyD．22112xy④【2015·湖北】如图，已知圆C与轴相切于点(1,0)T，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2AB.（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在轴上的截距为_________.圆一般方程022FEyDxyx(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示以（-2D，-2E）为圆心,FED42122为半径的圆；（2）当0422FED时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示一个点（-2D，-2E）;（3）当0422FED时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形新疆学案王新敞①求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.②【2015·新课标2】已知三点(1,0),(0,3),(2,3)ABC,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.321B.325C.34D.3③已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.④已知圆x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值⑤已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.圆⑥【2016·武汉中学期中】已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上．（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．拓展：①已知点P到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.②【2014·湖北】已知圆1:22yxO和点)0,2(A，若定点)2)(0,(bbB和常数满足：对圆O上那个任意一点M，都有||||MAMB，则:（1）b；（2）.圆直线与圆结合考试题型：①弦长（最短弦长）②弦长为整数问题③直线与圆的位置关系问题④切线及切线弦问题⑤圆与圆位置关系问题题型一（二）、最短最长弦问题1、过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为[来源:学科网]（）A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=02、已知圆，过点P(1,1)的直线被圆所截得的最短弦长是()A.B.C.D.变式训练：2-1、过点A（11，2）作圆22241640xyxy的弦，其中弦长为整数的共有A.16条B.17条C.32条D.34条圆3、已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A.610B.620C.630D.40考点三、直线与圆位置关系直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系图形相交两个d＜r相切只有一个d=r相离没有d＞r①简单计算问题代数法1°将直线方程与圆的方程联立成方程组.2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.3°求出其判别式Δ的值.4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相离；若Δ=0,则直线与圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相交.反之也成立.几何法1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3°作判断：当d＞r时,直线与圆相离；当d=r时,直线与圆相切;当d＜r时,直线与圆相交.1、已知直线l过点P(4,0),且与圆O：x2+y2=8相交,求直线l的倾斜角α的取值范围.圆2、已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l的方程.3、已知过点P(1,2)的直线与圆056222yxyx相切，且与直线01yax垂直，则a________.4、【2015·广东】平行于直线012yx且与圆522yx相切的直线的方程是A．052yx或052yxB.052yx或052yxC.052yx或052yxD.052yx或052yx5、若直线2yx被圆4)(22yax所截得的弦长为22,则实数a的值为（）A．1或3B．1或3C．2或6D．0或46、若直线3450xy与圆2220xyrr相交于A,B两点，且120oAOB（O为坐标原点），则r=_____.7、直线l过点），（02，l与圆xyx222有两个交点时，斜率k的取值范围是()A．），（2222B．），（22C．），（4242D．），（81818、对于任意实数k，直线(32)20kxky与圆222220xyxy的位置关系是________★9、直线bxy与曲线29yx恰有一个公共点，则b的取值范围是。★10、点为圆的弦的中点，则该弦所在直线的方程是11、已知直线l:y=k(x+22)与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点,O为坐标原点,△ABO的面积为S,①试将S表示成k的函数S(k),并指出它的定义域；②求S的最大值,并求出取得最大值时的k值.圆12、已知圆C:,直线，（1）无论m取任何实数，直线必经过一个定点，求出这个定点P的坐标。（2）当m取任意实数时,试判断直线和圆的位置关系，并说明理由。（3）请判断直线被圆C截得的弦何时最短,并求截得的弦最短时m的值以及弦的长度。★13、已知圆4:22yxo和点).,1(aM（1）若过点M有且只有一条直线与圆o相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若2a，过点M作圆的两条弦BDAC、，且BDAC、互相垂直，求BDAC的最大值。14、【2015·广东】已知过原点的动直线与圆1C:22650xyx相交于不同的两点，．（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹C的方程；（3）是否存在实数，使得直线L:4ykx与曲线C只有一个交点？若存在，求出的取值范围；15、在同一坐标系下，直线ax+by=ab和圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（ab≠0，r＞0）的图象可能是（）A．B．C．D．圆16、【2015·新课标1】已知过点1,0A且斜率为k的直线l与圆C：22231xy交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）12OMON，其中O为坐标原点，求MN.17、【2017·课标3】在直角坐标系xOy中，曲线22yxmx与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.18、直线cos1(,)xyRkkZ且与圆22221xy的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定19、【2016·荆州期中】已知圆心坐标为(1,3)的圆M与y轴及直线33yx相切于AB、两点，另一圆1N与圆M外切（圆1N在圆M的斜上方），且与y轴及直线33yx分别切于CD、两点.（如图）（1）求圆1N的方程.（2）求线段AC的长.（3）仿1N作一系列圆(2)kNk圆kN与圆1kN外切，（圆kN在圆1kN的斜上方）与y轴及33yx相切，圆kN的圆心坐标为(,)kkxy，求数列kx的通项公式.圆②圆上的点到直线距离为d相关问题1、若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围（）（A）(B)(C)(D)2、已知圆O：225xy，直线l：cossin1xy（π02）.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k.考点五、圆与圆位置关系外离外切相交内切内含d＞R+rd=R+r|R-r|＜d＜R+rd=|R-r|[来源:学,科,网Z,X,X,K]d＜|R-r|★两圆公共弦问题1、【2014·湖南】若圆221:1Cxy与圆222:680Cxyxym相外切，则m（）.21A.19B.9C.11D2、两个圆)(042:2221RaaaxyxC与)(012:2222RabbyyxC恰有三条公切线，则ba的最小值为（）圆A、6B、3C、23D、33、已知两圆04026,010102222yxyxyxyx，则（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。4、已知圆22:1Cxy，点A（－2，0）及点B（2，a），从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是()A.（－∞，－1）∪（－1，+∞）B.（－∞，－2）∪（2，+∞）C.（－∞，433）∪（433，+∞）D.（－∞，－4）∪（4，+∞）5、【2014·北京】已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00Bmm，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为圆切线问题已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.解:当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以k=-11k.因为k1=00xy所以k=-00yx.所以经过点M的切线方程是y-y0=-00yx(x-x0).整理得x0x+y0y=x02+y02.又因为点M(x0,y0)在圆上,所以x02+y02=r2.所以所求的切线方程是x0x+y0y=r2.当点M在坐标轴上时,上面的方程同样适用.1、从点P(4,5)向圆(x－2)2＋y2=4引切线,求切线方程.2、已知圆C的方程为，定点，直线有如下两组论断：第Ⅰ组第Ⅱ组(a)点在圆内且M不为圆心(1)直线与圆相切(b)点在圆上(2)直线与圆相交(c)点在圆外(3)直线与圆相离由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题（将命题用序号写成形如pq的形式）3、过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）（A）2x+y-3=0（B）2x-y-3=0（C）4x-y-3=0（D）4x+y-3=04、(1)已知直线l：y=x+b与曲线C：y=21x有两个不同的公共点,求实数b的取值范围；(2)若关于x的不等式21x＞x+b解集为R,求实数b的取值范围.圆5、已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.以圆为背景考题考试题型：①与向量结合②圆中动点问题③计算问题1、设A为圆上动点，B（2，0），O为原点，那么的最大值为（）A．90°B．60°C．45°D．30°2、设A．B．C是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（）A．B．C．D．3、已知：以点C（t,）（t∈R,t≠0）为圆心的圆与轴交于点O,A，与y轴交于点O,B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=–2x+4与圆C交于点M,N，若OM=ON，求圆C的方程．☆4、已知平面区域04200yxyx恰好被面积最小的圆C：222)()(rbyax及其内部覆盖．（1）求圆C的方程；（2）斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A、B，且CBCA，求直线l的方程．圆5、【2014·课标2】设点0,1Mx，若在圆22:+1Oxy上存在点N，使得