(完整版)初三数学二次函数知识点总结

第1页共9页【【(h0)【【【(h0)【【【|k|【【【【【(k0)【【【(k0)【【【|k|【【【y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2y=a(x-h)2+k初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，，bc是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：c可以为零．二次函数的定义域是全⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，，bc是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式yaxh2k的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．a0向下h，kX=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：【【(k0)【【【【(k0)【【【|k|【【【【【(h0)【【【(h0)【【【|k|【【【【【(h0)【【【(h0)【【【|k|【【【【【(k0)【【【(k0)【【【|k|【【【2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：第2页共9页2a⑴yax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成yax2bxcm（或yax2bxcm）⑵yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）四、二次函数yaxh2k与yax2bxc的比较从解析式上看，yaxh2k与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b24acb2b4acb2者，即yax4a，其中h，k．2a4a五、二次函数yax2bxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数yax2bxc的性质bb4acb21.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x2a，顶点坐标为2a，4a．当xb2a时，y随x的增大而减小；当xb2a时，y随x的增大而增大；当xb2a时，y有最4acb2小值．4abb4acb2b2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x2a，顶点坐标为2a，4a．当x2a时，bb4acb2y随x的增大而增大；当x2a时，y随x的增大而减小；当x2a时，y有最大值．4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a第3页共9页二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．bab的符号的判定：对称轴x2a“左同右异”在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是3.常数项cc决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，，bc都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax，0，，Bx0(xx)，其中的x，x是一元二次方121212程ax2bxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2'有y0．当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y(m2)x2m2m2的图像经过原点，则m的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考b24aca第4页共9页y01查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（）y10xxCD3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x5，求这条抛物线的解析式。34.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：3已知抛物线yax2bxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。由抛物线的位置确定系数的符号例1（1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M(b,c)在（）aA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①ab0；②2a+cO；③4a+cO；④2a-b+1O，其中正确结论的个数为()A1个B.2个C.3个D．4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)答案：C15例4、已知抛物线y=x2+x-．22（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．y10xAy-1oxB第5页共9页由【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数yx24x7的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A.y2(x1)2B.y2(x1)2C.y2x21D.y2x213.函数ykx2k和yk(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知二次函数yax2bxc(a0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),图象可知关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个根分别是x1.3和x（12）Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则点(ac,bc)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2xx22的正根的个数为（）xA.0个B.1个C.2个.3个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A.yx2x2B.yx2x2第6页共9页C.yx2x2或yx2x2D.yx2x2或yx2x2二、填空题9.二次函数yx2bx3的对称轴是x2，则b。10.已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.11.一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。12.抛物线y2(x2)26的顶点为C，已知直线ykx3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13.二次函数y2x24x1的图象是由y2x2bxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=,c=。14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是(π取3.14).三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,52(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?).第15题图16.某种爆竹点燃后，其上