高等数学A,B上册期中卷附加答案解析1

共5页第1页东南大学考试卷（A卷）(期中)2004.11.17课程名称高等数学(工科)考试学期04-05-2得分适用专业工科各专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟题号一二三四五六七得分一.填空题(每小题4分,共20分)1.设0x时,1e3sinx与nx是等价无穷小,则n3.2.设0,e0,21lnxaxxxxfx在0x处连续,则a-2.3.设,cos2xxxf则010f90.4.函数xxxf1ln2在区间(-1,-1/2)内单调减少.5.函数xxxfln在10x处的带Lagrange余项的一阶Taylor公式为10,112112xxx二.选择题(每小题4分,共16分)1.设,1arctan1e1e11xxfxx则0x是xf的[C](A)连续点(B)第一类(非可去)间断点(C)可去间断点(D)第二类间断点2.设,2xgxxf且xg在2x处连续,02g,则2f[D](A)=2g(B)=-2g(C)0(D)不存在3.函数1elnxxxf在,0内的零点个数为[C](A)0(B)1(C)2(D)3学号姓名密封线共5页第2页4.设曲线,121222xxy则该曲线[D](A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有垂直渐近线(D)既有水平渐近线,又有垂直渐近线三.计算题(每小题7分,共35分)1.xxxx1sin1cotlim02.xxxxxxxsin12202e31ln1sinlim61cos1lim31sinlim2030xxxxxxx原式:解1-2xe1limsinx2e1e12x020eex2e11lim1sinlimx0xxxxxxxxxxxxx原式:解3.设xyy是由方程0sine2yxyx确定的隐函数,求yd.xxyyxyyyyyxxxyxyxyxyxdecos2e1d0dcos2dded22e:解4.设tytxarctan12,求22dd,ddxyxy.共5页第3页223222221431dd121211dd:tttxyttttxy解5.设函数,0,;0,e2xxcbxaxxxf且0f存在,试确定常数.,,cba21000,12;0,e100100000xaffxaxxxfbffcfff得由得由得由:解四.(8分)证明不等式:当1x时,211ln1xxx2211ln1,01,02ln1211,01121ln12,1,1ln11xxxfxffxxxxxxxfxfxxxxf因此上的可微函数是设:证五.(8分)求曲线802xxy的切线,使切线与直线0y及直线8x所围成的图形的面积最大.共5页第4页92563329256,316,3168,0,04316644864162821,16,8,0,28080,2,8000002000302002000020000200002xyyxxxSxxxSxxxxxxxSxxxxyxxxxyyxxxy切线方程为是最大值点所以面积,由于实际问题存在最大内的唯一驻点在解得所围三角形的面积为的交点分别为及切线与的切线方程为过点曲线:解六.(7分)设,2,1414,011nxxxxnnn,证明数列nx收敛,并求nnxlim.2lim,12,2414,lim,441241441441,0:211111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnx,aaaaaanaxxxxxxxxxxxxxxxxxxx因此舍去由极限保号性得知解得取极限得在递推关系式两端令设收敛,由单调有界原理知单调因此同号,与于是因此首先由题设知:证共5页第5页七.(6分)设xf在ba,上连续,在ba,内可导,且,0ab证明:ba,,使得fbabaf2223fbabaabafbffbaxffbabaabafbfabafbffbaxgxfxxg22222233233,,,Lagrange33,,CauchyCauchy,,使中值定理知使用再对函数于是使得中值定理知由中值定理条件,满足则设:证