大学课件-概率论与数理统计-中心极限定理（白底）

中心极限定理独立同分布的中心极限定理设随机变量序列LL,,,,21nXXX独立同一分布,且有期望和方差：L,2,1,0)(,)(2===kXDXEkkσμ则对于任意实数x,∫∑∞−−=∞→=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛≤−xtnkkndtexnnXP21221limπσμ定理1注则Yn为∑=nkkX1的标准化随机变量.())(limxxYPnnΦ=≤∞→即n足够大时，Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数σμnnXYnkkn−=∑=1记)1,0(~NYn近似∑=nkkX1μσnYnn+=),(2σμnnN近似服从德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace）设Yn~B(n,p),0p1,n=1,2,…则对任一实数x，有∫∞−−∞→=⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤−−xtnndtexpnpnpYP2221)1(limπ即对任意的ab,∫−∞→=⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤−−batnndtebpnpnpYaP2221)1(limπYn~N(np,np(1-p))(近似)定理2例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例与1/6比较上下不超过1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,则X~B(6000,1/6)65000)(,1000)(==XDXE⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≈6500010009406500010001060ΦΦ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=65000606500060ΦΦ165000602−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Φ9624.0≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−01.0616000XP()601000−=XP⎟⎠⎞⎜⎝⎛65000,1000~NX近似比较几个近似计算的结果中心极限定理9624.001.0616000≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−XP二项分布(精确结果)9590.001.0616000≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−XPPoisson分布9379.001.0616000≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−XPChebyshev不等式7685.001.0616000≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−XP例3检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率.解若在8小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于8小时.设X为检查1900个产品所用的时间(秒)设Xk为检查第k个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,…,1900XkP10200.50.525)(,15)(==kkXDXE∑==19001kkXX190021,,,XXXL相互独立同分布,47500251900)(28500151900)(=×==×=XDXE)47500,28500(~NX近似)2880019000()83600190010(≤≤=×≤≤×XpXP()()589.43376.1−−≈ΦΦ9162.0≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ≈475002850019000475002850028800