行程问题之-中点问题+行程中的倍比关系-完整版题型训练+详细答案

1行程问题之中点问题和行程间的倍比关系板块一、中点问题【例题1】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？【解析】因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：夏夏所行路程=全程一半-50米，冬冬所行路程全程一半+50米；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了50×2=100(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：（60+50）×10=1100(米)．【巩固1】甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地相距多少千米？【解析】两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距(5+4)×3=27千米【例题2】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇？【解析】两个人的相遇时间为：1100÷（50+60）=10（分钟），所以相遇时东东走了：60×10=600（米），两个人距离中点距离为：600-1100÷2=50（米）【巩固2】王老师从甲地到乙地，每小时步行5千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4千米．两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离．【解析]画一张示意图(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)中点A1千米乙甲离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，王老师走了两地距离的一半多1千米，张老师走了两地距离的一半少1千米．从出发到相遇，王老师比张老师多走了2千米，王老师比张老师每小时多走(5-4)千米，从出发到相遇所用的时间是2÷(5-4)=2(小时)。因此，甲、乙两地的距离是(5+4)×2=18(千米)．【例题3】甲乙二人同时分别自A、B两地出发相向而行，相遇之地距A、B中点300米，已知甲每分钟行100米，乙每分钟行70米，求A地至B地的距离.【解析】相遇时甲比乙多行300×2=600（米），相遇时共用了600÷（100-70）=20（分），A、B两地之间的距离为（100+70）×20=3400（米）.【巩固3】李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点3千米．问全程长多少千米？【巩固3】李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了3×2=6(千米)．由已知李明每小时比王亮多走18-16=2(千米)，李明比王亮多行6千米需要6÷2=3(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程是：（18+16）×3=102(千米)．【例题4】树叶和月亮同时分别从两地骑车相向而行，树叶每小时行18千米，月亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点5千米．问全程长多少千米？【解析】树叶走了全程的一半多5千米，月亮走了全程的一半少5千米，树叶比月亮实际多走了5×2=10(千米)．已知树叶每小时比月亮多走18-16=2(千米)，那么树叶比月亮多行10千米需要10÷2=5(小时)，这2就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求了．全程：（18+16）×5=170(千米)．【巩固4】蜡笔小新从家出发去超市找妈妈，小新妈妈从超市回家，他们同时出发，小新每分钟走45米，小新妈妈每分钟走60米，他们在离中点60米的地方相遇了，求小新家到超市的距离是多少米？【解析】路程差：60×2=120(米)，速度差：65-45=20(米／分钟)，相遇所用的时间：120÷20=6(分钟)，家到超市的距离：（45+65）×6=660(米)．【例题5】小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑车他的三轮车每分钟行100米，5分钟后小新已超过中点50米，这时二人还相距30米，正南每分钟行多少米？【解析】5分钟后小新比正南多走了50×2+30=130（米），所以每分钟多走：130÷5=26（米），所以正南每分钟走：100-26=74（米/分）【巩固5】甲、乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地相距多少千米？【解析】乙每小时比甲少行：5-4=1(千米)，由题意知，“两人相遇时乙比甲少行3千米”，说明两人行驶的时间为：3÷（5-4）=3(小时)，已知速度和与相遇时间，可求路程．两地相距为：（5+4）×3=27(千米)．【例题6】甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？【解析】画图分析．从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行70-60=10(千米)，120÷10=12(小时)，说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时．那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是（60+70）×6=780(千米)．【巩固6】甲、乙二人从A，B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇．如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点220米处相遇．甲晚出发了多少分钟？【解析】同时出发，相遇时甲多走60×2=120(米)，相遇时间为120÷(80-70)=12(分)，因此甲、乙两地距离为（80+70）×12=1800(米)．当甲晚出发一会儿时，两人各用时间分别为乙用时：(1800÷2+220)÷70=16(分)，甲用时：(1800÷2-220)÷80=8.5(分)，所以甲比乙晚出发16-8.5=7.5(分)．【例题7】甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米．甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已经30分钟．问：甲、乙每分钟各走多少米？【解析】根据题意，画线段图如下：30分钟内，二人的路程和2400×2=4800(米)，因此速度和为：4800÷3=160(米/分)；又知道30分钟甲的路程为：2400+300=2700(米)，所以甲速度为：2700÷30=90(米/分)，则乙速度为：160-90=70(米/分)．3【巩固7】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米．汽车每小时行48千米．两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两车在距离中点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？【解析】第二次相遇距中点108千米，说明两车共有108×2=216(千米)的路程差，由此可知两车共行驶了：216÷（54-48）=36(小时)．又因为第二次相遇两车共走了三个全程，所以走一个全程用36÷3=12(小时)．这样可以求出甲乙两地的路程是：（54+48）×12=1224(千米)．板块二：行程间的倍比关系【例题1】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285(千米)，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=260(千米)．【巩固1】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地90千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地30千米处相遇．求A、B两地间的距离？【解析】第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了90千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个90千米，即90×3=270（千米），而这270千米比一个A、B两地间的距离多30千米，可得：90×3-30=240(千米)．【例题2】如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行．他们在离A点100米的C点第一次相遇．亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求A、B间的距离．要求写出关键的推理过程．80米100米ABDC第4题【解析】第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了100米，从开始到第二次相遇，两人共走了三个全程，则亮亮走了100×3=300(米)．亮亮共走的路程为一个全程多80米，所以道路长300-80=220（米）．【巩固2】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地80千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地20千米处相遇．求A、B两地间的距离？【解析】第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了80千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个80千米，即80×3=240（千米），而这240千米比一个A、B两地间的距离多20千米，可得：240-20=220(千米)．4【例题3】甲、乙二人同时分别从A、B两地出发，相向匀速而行．甲到达B地后立即往回走，乙到达A地后也立即往回走．已知他们第一次相遇在离，A、B中点2千米处靠B一侧，第二次相遇在离A地4千米处．A、B两地相距多少千米？42BA乙甲【解析】如图所示，两人第一次相遇，合走一个全程，两人第二次相遇，合走三个全程．而两人速度不变，这说明第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相遇时，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇时，他应该走了3个半个全程多6千米，而实际他走了2个全程差4千米，即4个半个全程差4千米．因此，半个全程长6+4=10(千米)，A、B两地相距10×2=20(千米)．【巩固3】甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达BA两地后，立即按原路原速返回．两车从开始到第二次相遇共用6小时．求A、B两地的距离？【解析】甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个AB间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到BA两地后，又共同行完一个AB间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个AB间的路程．因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行3个AB间的路程．甲、乙速度和：42+45=87(千米)，3个AB间路程：87×6=522(千米)，A、B相距：522÷3=174(千米)．【例题4】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：4千米爸爸小明4千米家图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明骑了8-4=4(千米)．而爸爸骑的距离是4+8=12(千米)．这就可以知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4=3倍．按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3=24(千米)．但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4+12=16(千米)，少骑行24-16=8(千米)．摩托车的速度是8÷8=1(千米/分)，爸爸骑行16千米需要16分钟．8+8+16=32(分钟)．所以这时是8点32分．【巩固4】自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通