简简明微积分

简简明微积分Easy&Quick-to-learnCalculus0简简明微积分Easy&Quick-to-learnCalculusForHighSchoolStudentsIsaacNewtonGottfriedWilhelmLeibnizByZeizyy简简明微积分Easy&Quick-to-learnCalculus1致读者一直以来我都把微积分称作一门手艺，他确实是门手艺，可能初中的各位现在还没有概念，但当你开始接触高中的理科，尤其是高中的数学和物理之后，看着身边的同学熟练地运用着求导和积分解题时，相信你一定会后悔当初为什么自己没有学。再者,如果你想在高中的数学和物理，尤其是物理上有一定的建树的话，微积分更显得十分必要。掌握了微积分，解决某些题目会变得十分快捷。比如,求一已知曲线某一点的曲率半径(本书第三章中会涉及)，v2如果用物理方法，曲率半径是该点速度的平方除以向心加速度，即，但实际操作起an来十分的繁琐。而运用微积分，知道了曲线的表达式y,那么所x点的曲率半径就是3[1(y')2]2y'',十分便捷。总之，微积分的应用性十分之强。微积分是一门手艺，更是一种思想。很多人都说数学离生活太远，因为它太抽象。我不这么认为。离开了生活，哪来的数学？当然这里的生活可能比一般意义下所理解的要稍微广义一些，但这的的确确是实实在在的，它会存在于生活中的每个角落。微积分提供我们用另一种视角来观察这个世界，这你会在学习的过程中逐渐感觉到的。可能在未来的某一天，你会庆幸当年的自己所做的决定，这门手艺，不说终生，至少会让你受益aslongas你还在学理科。微积分本来是大学高等数学中的一门课，应该说学习门槛还是很高，但如今编教程的也不过就是一个连高中都还没毕业的学生，这个反差未免有些大了。实际上，这本教程也正是专门为中学生设计的。在书中，我弱化了一些定理的证明，而是把重点放在了微积分的强应用性上。实际上这些证明对于现在的我们可能并不必要重要，我们只要知道怎么使用微积分来解决一些问题就足够了。数学固然是严密的，但却并不是一成不变的，应用性也是数学的魅力所在。不过弱化证明并不能代表对于概念理解的扎实程度可以下一个档次，微积分毕竟是大学课程，要理解透彻并非易事，希望读者能夯实基础，一步一个脚印。对于本书的读者，我想最合适的当属初三的学生了。通过半年左右对于微积分的训练，对其的理解会加深，技巧会熟练，运用会自如，虽然可能在初三的内容中几乎没什么地方用的到微积分，不过没关系，耐心等半年。到了高一，全速起航。当然对于其他年龄段的读者同样十分欢迎。就像前文中说的我也只不过是一个连高中都还没有毕业的学生，能力有限，时间有限。书中可能会有一些笔误，用语可能也不那么专业，当然我想应该没有什么很大的原则性错误。然后我要感谢同济大学数学系出版的《高等数学》。本书的一些章节中引用部分书中的段落。当然有些读者可能会说，既然是引用的我还不如看原书，为什么要来看这个呢。正统的微积分教程大多都是给大学生看的，内容自然会比较完整，基本上每一步都有完整的证明，让你找不到一丝的破绽，加之其中还穿插有许多作为中学生一般不太会用的内容，作为代价，这样的教程将会相当厚，而且用语可能超出了中学生的理解范围。就拿同济大学的《高等数学》来说，分上下两册，加起来要七八百页。而这本教程的优点在于它挑选出了微积分中最基本，也是最实用的一些精华部分，适当组合，运用比较简单的语言，让读者在比较短的时间内能够掌握这门所谓的”大学课程”。所谓“简简明”也就是这个意思。感谢各位读者耐心读完这篇所谓的《致读者》,和那RMB15，但相信收获远不止这些。最后，向封面上的两位致敬.谢谢大家.ByZeizyy简简明微积分Easy&Quick-to-learnCalculus2目录第一章函数...........................................................................................3第一节函数的概念及特性..............................................................3第二节基本初等函数......................................................................5第二章极限.........................................................................................10第一节数列的极限........................................................................10第二节函数的极限........................................................................10第三节无穷小量与无穷大量........................................................11第四节极限的运算法则................................................................12第五节极限存在准则及两个重要极限.........................................12第六节函数的连续性....................................................................13第三章导数与微分.............................................................................13第一节导数的定义........................................................................14第二节导数公式............................................................................14第三节导数的应用........................................................................19第四章积分学.....................................................................................23第一节不定积分的概念................................................................23第二节定积分的概念及应用........................................................25第三节重积分的概念及应用........................................................29附求导积分练习&希腊字母表...........................................................34简简明微积分Easy&Quick-to-learnCalculus3第一章函数——Function本章是所谓的pre-calculus介于时间和篇幅的原因，对于本章中某些概念的阐述可能稍显简单，读者稍加了解即可，初学者可参阅D.D.Ao出品的《高一欢迎你》，数学部分第一章对本章中的基础知识有详细叙述。第一节函数的概念及特性一、基础知识1．集合的概念一个集合就是将几个对象适当归类而作为一个整体。构成集合的事物或对象称作元素。集合的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。2．集合的表示集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：A{x|x210}——空集A{x|x210}——实数集R“|”前为集合的特征元素，“|”后为集合中元素的特征，即满足的条件.集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：C={1,2,3}D={红色，白色，蓝色，绿色}集合在不严格的意义下也可以通过文氏图来表示。3．集合中的符号Z——整数Q——有理数R——实数C——复数N——自然数N*——正整数R——正数——属于——包含于——真包含——空集4．区间表示法用数轴上的区间来表示大小于关系，十分直观。1)(a,b){x|axb}2)[a,b]{x|axb}简简明微积分Easy&Quick-to-learnCalculus43)[a,b){x|axb}4)(a,b]{x|axb}5)(a,){x|xa}6)(,b){x|xb}7)(,b]{x|xb}8)，即空集二、函数的概念xD按照一定的法则f存在唯一的y的一种对应关系。函数的值域：W{y|yf(x),xD}，即所有的y组成的集合，也是映射f所成象的集合.三、函数的几种特性1．有界性Def:M0，(表示Exist存在)使得xZ都有f(x)M，则称f(x)在Z上是有界函数，否则称f(x)无界。2．单调性Def:f(x)的定义域D，区间ID。1）若x1x2I(表示Any任取)，有f(x1)f(x2)，则f(x)在I上单调递增，I是f(x)的增区间记f(x)2）若x1x2I，有f(x1)f(x2)，则f(x)在I上单调递增，I是f(x)的增区间记f(x)两者统称单调函数.3．奇偶性Def:yf(x)的定义域为D,xD,xD,且f(x)f(x),则f(x)为奇函数(奇函数关于原点对称).yf(x)的定义域为D,xD,xD,且f(x)f(x),则f(x)为奇函数(偶函数关于y轴对称).*若f(x)是定义域关于原点对称的函数，则它一定能够表示为一个奇函数与一个偶简简明微积分Easy&Quick-to-learnCalculus5函数的和。proof:令f1(x)1[f(x)f(x)]，f2(x)21[f(x)f(x)]，则2f1(x)是偶函数，f2(x)是奇函数。f1(x)f2(x)f(x)，因为总能找到这样的f1(x)和f2(x)使得两者的和等于f(x)，得证。4．周期性Def:yf(x)的定义域是D，若l0，使得xD，xlD，有f(xl)f(x，)则称f(x)为周期函数，l是f(x)的一个周期。注意区别于最小正周期。值得注意的是有些函数不存在最小正周期，如狄利克雷函数1,x为有理数D(x)0,x为无理数，任意有理数都是其周期。四、反函数对于yf(x)，若yW有且仅有唯一的x与之对应时，则可得到一个x关于y的函数关系xf1(y)，称为yf(x)的反函数。习惯上写成yf1(x).(上式中的y是原函数中的x,x是原函数中的y，改变的是对应法则).几何上两者关于yx对称.求法：对于原函数每个因变量仅有一个自变量值与其对应的情况，整理后用y表示x即可。否则为了满足函数的特征，即每个自变量只能对应一个因变量，应规定主值区间。*应用：求值域——一般来说，求已知函数的定义域可转化为求这个函数反函数的值域.第二节基本初等函数1．幂函数myx(为常数,0,1)xn(m,nZ,且m,n互素)简简明微积分Easy&Quick-to-learnCalculus6定义域：n为偶数n为奇数0D[0,)DR0D(0,)D(,0)(0,)值域：n为偶数n为奇数0R[0,)RR0R(0,)R(,0)(0,)图像：先研究第一象限的情况再根