六种方法求二面角的大小

六种方法求二面角的大小河北省武邑县职教中心053400李凤迎李洪涛求二面角的大小是高考立体几何题中的重要题型，它几乎涉及到了立体几何中的所有知识点，考查到了所有思想和方法，具有很强的综合性.我们要根据题目环境条件的不同灵活地采用适当的方法.下面总结一下二面角的常见求法，以供大家学习和参考.一、定义法例1.在三棱锥ABCD中，ABACADBC，CDBD，90BAC，90BDC，求二面角ABCD的大小.分析因为ABC和BCD是有公共边的等腰三角形，此时宜采用“定义法”.解答取BC的中点O，连接OA、OD，因为OA、OD分别为等腰ABC和BCD的中线，所以AOBC，DOBC，则AOD即为所求二面角ABCD的平面角.设ABa，则ADa，62AOa，22ODa，在AOD中，因为2226222aaa，即222AOODAD，所以90AOB，所以二面角ABCD大小为90.说明当二面角的两个面是有公共边的等腰三角形和矩形的组合时，可采用“定义法”；当二面角的两个面是关于公共边对称的两个全等三角形时，同时取公共边上的高，由定义可作出二面角的平面角.变式训练1（2008年高考题）在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC,2CD,ABAC.设侧面ABC为等边三角形，求二面角CADE的大小.二、三垂线定理法例2.在三棱锥PABC中，APBPBC，90APBABC，面APB面PBC.（1）求证：APBABC面面；（2）求二面角PACB的大小.分析由（1）中APBABC面面可知，此时宜采用“三垂线定理法”作出二面角PACB的平面角.只需过P作POAB于O，过O作OHAC于H，连接PH，则PHO即为所求.解答（1）略.（2）过P作POAB于O，过O作OHAC于H，连接PH.因为APBABC面面，=APBABCAB面面，POAPB面，POAB，所以DCOABOHCABPEGOBDCAPOABC面，则OH为斜线PH在面ABC内的射影.又因为ACOH，所以ACPH（三垂线定理），则PHO即为所求.设APa，则PBBCa.在RtAPB中22POAOa，在RtABC中3ACa，由RtAOH∽RtABC得OHBCAOAC，所以BCOHAOAC223aaa66a，又因为POABC面，OHABC面，所以POOH，则在RtABC中，tanPOPHOHO22366aa，所以60PHO，即二面角PACB的大小为60.说明当题目中有一条从一个半平面内的一点到另一个半平面的垂线段时，可采用“三垂线定理法”.垂线段可由题目中的线面垂直、面面垂直等条件作出.变式训练2如图，三棱柱111ABCABC，底面是边长为23的正三角形，点1A在底面ABC上的射影O恰是BC的中点.若侧棱1AA和底面ABC所成的角为45时，求二面角1AACB的正切值.三、垂面法例3.已知P为二面角l内一点，PA于A，PB于B，且3PA，4PB若33ABCS，则二面角l的度数为______.分析由已知得lPAB面.设PABlO面，连接,OAOB，则lOA，lOB，则AOB即为二面角l的平面角，且180AOBP.要想求AOB，只需由ABC的面积公式求出P即可.解答因为1sin2ABCSPAPBP134sin332P，所以3sin2P，所以60P或120，又因为180AOBP，从而=120AOB或60.说明180AOBP可作为结论使用.若给出ABP的三边，则可通过余弦定理lOABPβαHC1B1A1OCBA求出P的度数.变式训练3已知P为二面角l内一点，PA于A，PB于B，且7PA，8PB，13AB，则二面角l的度数为______.四、面积射影法例4.在三棱锥中PABC，,DE分别为PBC、ABC的重心，若DEABC面，2PBCABCSS，则二面角PBCA的大小为______.分析易证DE∥PA，则PAABC面，则PBC的射影为ABC，此时宜采用“面积射影法”.解答设二面角为，因为,DE分别为PBC、ABC的重心，则可得=MDMEDPEA，所以DE∥PA.又因为DEABC面，所以PAABC面.因为cosABCPBCSS1222，所以45.说明当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小.变式训练4若一正四棱锥的表面积与其底面积满足关系式21=xxSSx表底，则其侧面与底面所成的二面角的范围是______.五、三正弦定理法例5.（2012年全国新课标卷）在直三棱柱ABCABC中，12ACBCAA，D是棱AA的中点，DCBD.（1）证明：DCBC；（2）求二面角ABDC的大小.分析考察面BDC内的直线DC，易求90BDC，即2sin1；取AB的中点N，则CNABBA面，则CDN即为直线DC与ABBA面所成的角，且1sin2CDN，即11sin2，最后代入公式即可求出二面角的大小.解答因为DAC和DAC均为等腰直角三角形，所以DCDC.又因为DCBC，所以DCDBC面，从而DCDB，即2sinsin901；取AB的中点N，连接DN，则CNAB.又因为AACN，所以CNABBA面，则CDNMEDCBAPBB'A'C'ADN即为直线DC与ABBA面所成的角.设2AAa，则ACBCa，因为22CNa，2DCa，即11sinsin2CNCDNCD.由12sinsinsin得1sin2，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以30.说明当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.变式训练5如图，平面角为锐角的二面角EF，若AEF，AG，45GAE，若AG与所成的角为30，则该二面角的大小为______.六、向量法例6.题目同例5.分析由（1）可证BCCCAA面，则BCCA，所以,,CACBCC两两互相垂直，此时可以采用“向量法”求二面角的大小.解答(1)略.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设所求二面角为，平面BDC的法向量为1,,nxyz，又因为101DC，，，012BC，，，则1100DCnBCn，即020xzyz，取1x，则2y，1z，所以11,2,1n；同理设平面ABBA的法向量为2n，取AB的中点M，则可知CMABBA面，所以取211==,022nCM，，又因为121212cos,nnnnnn3322262，由题意知所求二面角为锐二面角，所以30.说明向量法又俗称“万能法”.当题目中出现三条线段具有或可以证明存在两两互相垂直的位置关系时，可采用“向量法”.但计算时一定要认真，并且要根据所求二面角是锐二面角还是钝二面角合理取舍.变式训练6如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABAC，2ABAC，14AA，点D是BC的中点.求平面1ADC与平面1ABA所成二面角的正弦值.BB'MA'C'ADxyzCβαGEFADzyxC1A1B1CBA（参考答案：1.10arccos10；2.2；3.60；4.6090；5.45；6.5sin3.）