正弦定理和余弦定理-PPT课件

正弦定理和余弦定理名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝________________;b2＝________________;c2＝________________.asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基定理正弦定理余弦定理变形形式a＝____________，b＝____________，c＝____________；sinA＝________，sinB＝________，sinC＝________；a∶b∶c＝_____________________;cosA＝__________；cosB＝__________；cosC＝__________.a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA.2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基2.正弦定理解决的问题有哪两类？提示：(1)已知两角和任一边，求其他边和角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角3．余弦定理解决的问题有哪三类？提示：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边温馨提醒：解斜三角形的类型：(1)已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．(2)已知两边及其一边的对角,用正弦定理，有解的情况可分为以下情况,在△ABC中,已知a、b和角A时,解的情况如下：名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基A为锐角A为钝角图形关系式解个数a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b一解两解一解一解名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基上表中A为锐角时，a＜bsinA时，无解；A为钝角时，a＝b,a＜b均无解．(3)已知三边，用余弦定理有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基4．三角形面积设△ABC的三边分别为a、b、c，所对的三个角分别为A、B、C，其面积为S.(1)S＝12ah(h为BC边上的高)；(2)S＝12absinC.名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基1．(2013·高考北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．12．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定BB名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基3．(2014·甘肃兰州调研)在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为()A．33B．23C．43D.34．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac,则△ABC的形状为__________.5．(2013·高考安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________.C等边三角形2π3名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基(2013·高考山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．利用正、余弦定理解三角形[课堂笔记]名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基【解】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基1．(2012·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【解】(1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB.所以tanB＝3，所以B＝π3.名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．利用正、余弦定理判定三角形的形状[课堂笔记]名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基判断三角形的形状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基2．(1)在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为_____________；(2)在△ABC中，若b＝asinC，c＝acosB，则△ABC的形状为__________________．直角三角形等腰直角三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基【解析】(1)∵sin2A2＝c－b2c，∴1－cosA2＝c－b2c，∴cosA＝bc.由余弦定理bc＝b2＋c2－a22bc，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．(2)由b＝asinC可知ba＝sinC＝sinBsinA，由c＝acosB可知c＝a·a2＋c2－b22ac，整理得b2＋c2＝a2，即三角形一定是直角三角形，A＝90°，∴sinC＝sinB，∴B＝C，即b＝c，故△ABC为等腰直角三角形．名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基(2013·高考湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值．与三角形面积有关的问题[课堂笔记]名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基【解】(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0.解得cosA＝12或cosA＝－2(舍去)．因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由S＝12bcsinA＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，所以a＝21.由正弦定理得sinBsinC＝basinA·casinA＝bca2sin2A＝2021×34＝57.名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a，sinB的值．【解】(1)∵cosA＝2cos2A2－1＝2×2552－1＝35，而AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cosA＝35bc＝3，∴bc＝5.名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基又A∈(0，π)，∴sinA＝45，∴△ABC的面积S△ABC＝12bcsinA＝12×5×45＝2.(2)由(1)知bc＝5，而c＝1，∴b＝5.∵a2＝b2＋c2－2bccosA＝52＋12－2×1×5×35＝20，∴a＝25.又asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝5×4525＝255.名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基(本题满分12分)(2013·高考课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c,已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．求解三角形中的最值、范围问题名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基————————[审题路线图]————————(1)已知――→正弦定理角的关系―――――――→利用A＝π－（B＋C）角B的三角函数关系→角B；(2)三角形面积公式→S＝24ac―――→余弦定理a，c的关系――――→基本不等式ac的最值→S的最值．名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基[解](1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①2分又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB．5分又B∈(0，π)，所以B＝π4.6分由边转化为角表示是解答本题的关键.名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.9分又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.12分利用基本不等式转化得出ac≤42－2是解本题的难点．名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基(1)解答本题的易错点：①易忽视B，C的范围出现步骤缺失．②不会利用基本不等式，转化为ac的不等关系，只能得8～9分．(2)解决该类问题易出现的错误：①对所给的边角关系不能正确转化．②利用正弦定理求解三角形时要注意解的个数的验证．③利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基(原创题)在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsinC＝(a2＋c2－b2)sinB.(1)若C＝π4，求A的大小；(2)若a≠b，求cb的取值范围．【解】∵acsinC＝(a2＋c2－b2)sinB，∴sinCsinB＝a2＋c2－b2ac＝2a2＋c2－b22ac＝2c