高三复习高中数学数列拔高(有答案)

2015年高三复习高中数学数列拔高组卷（有答案）一．解答题（共30小题）1．（2014•濮阳二模）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．2．（2014•南通一模）设公差不为零的等差数列{an}的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．3．（2014•宿迁模拟）已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{an}的首项a1=1．（1）若q=，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，bk，使得a1，b1，b2，…，bk，a2，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通项公式（用q表示）．4．（2014•东城区二模）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{an}：a1是自然数，an=f（an﹣1）（n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）求f（99），f（2014）；（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；（Ⅲ）求证：存在m∈N*，使得am＜100．5．（2014•日照一模）已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn；（3）若Cn≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．6．（2014•浦东新区三模）已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1﹣an，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，bn=n，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn+1bn﹣1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记cn=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{cn}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．7．（2014•上饶二模）已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为（﹣1，），且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列an满足a1=1，3an+1=1﹣（n∈N×）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设bn=，求数列bn的通项公式；（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列bn的前n项和为Sn，求数列Sn•cos（bnπ）的前n项和Tn．8．（2014•福建模拟）如图，过曲线C：y=e﹣x上一点P0（0，1）做曲线C的切线l0交x轴于Q1（x1，0）点，又过Q1做x轴的垂线交曲线C于P1（x1，y1）点，然后再过P1（x1，y1）做曲线C的切线l1交x轴于Q2（x2，0），又过Q2做x轴的垂线交曲线C于P2（x2，y2），…，以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1（xn+1，0），再过点Qn+1做x轴的垂线交曲线C于点Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，…）．（1）求x1、x2及数列{xn}的通项公式；（2）设曲线C与切线ln及垂线Pn+1Qn+1所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式；（3）若数列{Sn}的前n项之和为Tn，求证：（n∈N+）．9．（2014•南充一模）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．（1）试求b、c满足的关系式．（2）若c=2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn•f（）=1，求证：＜＜．（3）设bn=﹣，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009﹣1＜ln2009＜T2008．10．（2014•通州区二模）已知f（x）=，数列{an}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{bn}中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求数列{an}和{bn}的通项公式（2）令，{cn}的前n项和为Tn，证明：对∀n∈N+有1≤Tn＜4．11．（2014•江西模拟）无穷数列{an}的前n项和Sn=npan（n∈N*），并且a1≠a2．（1）求p的值；（2）求{an}的通项公式；（3）作函数f（x）=a2x+a3x2+…+an+1xn，如果S10=45，证明：．12．（2014•文登市二模）各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，满足=1（n∈N*），且S5+2=a6．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：7（an﹣1）2＞3n+1（n∈N*）；（Ⅲ）若n∈N*，令bn=an2，设数列{bn}的前n项和为Tn（n∈N*），试比较与的大小．13．（2014•合肥一模）已知函数fn（x）=x+，（x＞0，n≥1，n∈Z），以点（n，fn（n））为切点作函数y=fn（x）图象的切线ln，记函数y=fn（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，ln所围成的区域面积为an．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）求证：an＜；（Ⅲ）设Sn为数列{an}的前n项和，求证：Sn＜．14．（2013•上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．15．（2013•上海）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．16．（2013•江苏）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0．17．（2013•天津）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明．18．（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．19．（2013•天津）已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．20．（2013•北京）给定数列a1，a2，…，an．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n﹣i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai﹣Bi．（Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，an﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，dn﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，dn﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，an﹣1是等差数列．21．（2013•东城区模拟）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+bn=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn}是等比数列；（3）记cn=an•bn，求{cn}的前n项和Sn．22．（2013•潮州二模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=，且an+2=．（I）求证：数列为等差数列；（II）求数列{an}的通项公式；（III）求下表中前n行所有数的和Sn．23．（2013•广东模拟）数列{an}的各项均为正数，sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，sn，成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）正数数列{cn}中，an+1=，（n∈N°）．求数列{cn}中的最大项．24．（2013•金山区一模）已知数列{an}满足，1+a1+a2+…+an﹣λan+1=0（其中λ≠0且λ≠﹣1，n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和．（1）若，求λ的值；（2）求数列{an}的通项公式an；（3）当时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．25．（2013•东城区模拟）设a1，a2，…，a20是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0≤k≤19的整数k，数列确定．记．（I）当k=1时，求M的值；（II）求M的最小值及相应的k的值．26．（2013•肇庆二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=2kn•an，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设A={x|x=kn，n∈N*}，B={x|x=2an，n∈N*}等差数列{cn}的任一项cn∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，110＜c10＜115，求{cn}的通项公式．27．（2013•怀化三模）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n﹣1）千元时多卖出件，（n∈N*）．（1）试写出销售量s与n的函数关系式；（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？28．（2013•成都模拟）已知一非零向量列{an}满足：a1=（1，1），an=（xn，yn）=（1）证明：{|an|}是等比数列；（2）设θn=＜an﹣1，an＞（n≥2），bn=2nθn﹣1，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn；（3）设cn=|an|log2|an|，问数列{cn}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．29．（2013•广州三模）已知函数f（x）=（x＞0），设f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为bn，数列{an}满足：a1=N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在数列中，仅当n=5时，取最小值，求λ的取值范围；（Ⅲ）令函数g（x）=f（x）（1+x）2，数列{cn}满足：c1=，cn+1=g（cn）（n∈N*），求证：对于一切n≥2的正整数，都满足：1＜＜2．30．（2013•怀化二模）已知函数．（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，已知a1=4，求证：an≥2n+2；（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2014•濮阳二模）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{an}、{bn}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn．解答：解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞