2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)(含解析)

12019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数（一）1.【山东肥城】已知函数22()2sin2sin()6fxxx，xR.（1）求函数()yfx的对称中心；（2）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且()262Bbcfa，ABC的外接圆半径为3，求△ABC周长的最大值.【解析】()1cos21cos2()cos(2)cos263fxxxxx13cos2sin2cos222xxx31sin2cos2sin(2)226xxx.（1）令26xk（kZ），则212kx（kZ），所以函数()yfx的对称中心为(,0)212kkZ；（2）由()262Bbcfa，得sin()62bcBa，即31sincos222bcBBa，整理得3sincosaBaBbc，由正弦定理得：3sinsinsincossinsinABABBC，化简得3sinsinsincossinABBAB，又因为sin0B，所以3sincos1AA，即1sin()62A，由0A，得5666A，所以66A，即3A，又ABC的外接圆的半径为3，所以23sin3aA，由余弦定理得22222222cos()3abcbcAbcbcbcbc2223()()()44bcbcbc，即6bc，当且仅当bc时取等号，所以周长的最大值为9.2.【河北衡水】已知函数22sincos2cosfxaxxbxc0,0ab，满足02f，且当0,x时，fx在6x取得最大值为52.（1）求函数fx在0,x的单调递增区间；（2）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且32fC，求222222abcabc的取值范围.【解析】（1）易得55sin2366fxx，整体法求出单调递增区间为0,6，2,3；（2）易得3C，则由余弦定理可得2222222222abcabababcab21baab，由正弦定理可得2sinsin3sinsinAbBaAA311,22tan22A，所以2222223,4abcabc.3.【山东青岛】已知向量1cos,2ax，(3sin,cos2)bxx，xR，设函数()fxab.（1）求f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)的单调递减区间；（3）求f(x)在0,2上的最大值和最小值.3【解析】1()cos,2fxx(3sin,cos2)xx13cossincos22xxx31sin2cos222xxcossin2sincos266xxsin26x.（1）()fx的最小正周期为222T，即函数()fx的最小正周期为.（2）函数sin(2)6yx单调递减区间：3222262kxk，kZ，得：536kxk，kZ，∴所以单调递减区间是5,36kk，kZ.（3）∵02x，∴52666x.由正弦函数的性质，当262x，即3x时，()fx取得最大值1.当266x，即0x时，1(0)2f，当5266x，即2x时，122f，∴()fx的最小值为12.因此，()fx在0,2上的最大值是1，最小值是12.44.【浙江余姚】已知函数)6cos(sinsin)(2xxxxf.（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在2,0上的最大值和最小值．【解析】（1）由题意得6cossinsin)(2xxxxf)sin21cos23(sinsin2xxxxxxxcossin23sin232xx2sin43)2cos1(4343)2cos232sin21(23xx43)32sin(23x)(xf的最小正周期为（2）2,0x，32323x当332x，即0x时，0)(minxf；当232x，即125x时，4332)(maxxf综上，得0x时，)(xf取得最小值，为0；当125x时，)(xf取得最大值，为433255.【山东青岛】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos3bAac．（1）求cosB；（2）如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，2DB，且1AD，3CD，6BC，求AB的长．【解析】解：（1）在ABC中，由正弦定理得3sincossinsin3BAAC，又()CAB，所以3sincossinsin()3BAAAB，故3sincossinsincoscossin3BAAABAB，所以3sincossin3ABA，又(0,)A，所以sin0A，故3cos3B（2）2DB，21cos2cos13DB又在ACD中，1AD，3CD∴由余弦定理可得22212cos1923()123ACADCDADCDD，∴23AC，在ABC中，6BC，23AC，3cos3B，∴由余弦定理可得2222cosACABBCABBCB，即23126263ABAB，化简得22260ABAB，解得32AB．故AB的长为32．66.【江苏泰州】如图，在△ABC中，2ABC，3ACB，1BC.P是△ABC内一点，且2BPC.（1）若6ABP，求线段AP的长度；（2）若23APB，求△ABP的面积.【解析】（1）因为6PBC，所以在RtPBC中，2BPC，1BC，3PBC，所以12PB，在APB中，6ABP，12BP，3AB，所以2222cosAPABBPABBPPBA11373234224，所以72AP；（2）设PBA，则PCB，在RtPBC中，2BPC，1BC，PCB，所以sinPB，在APB中，ABP，sinBP，3AB，23APB，由正弦定理得：sin31sin22sinsin3331cossin223sincos2，又2223sincos1sin71sin2ABPSABBPABP21333sin214.8.【辽宁抚顺】已知向量m14,xsin，n34,xcos，xfmn（1）求出f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；7（2）令6xfxh，求h(x)的单调递减区间；（3）若m//n，求f(x)的值．【解析】（1）xfnm344xcosxsin3222134221xsinxsin1cos232x所以xf的最小正周期T，对称轴为Zkkx,2对称中心为Zkk,3,24（2）332216xcosxfxh令Zkkxk,2322得Zk,kxk63所以xh的单调减区间为Zk,k,k63（3）若m//n，则3sincos44xx即314xtan2tanx1cos232fxx221sincos32xx22221sincos32sincosxxxx103331tan1tan2122xx9.【辽宁抚顺】已知函数12322xcosxcosxsinxf，Rx．（1）求函数xf的最小正周期及在区间20,上的最大值和最小值；（2）若560xf，x024,，求cos2x0的值．【解析】（1）由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，8得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin62x，所以函数f(x)的最小正周期为π162216762620xsin,x,x所以函数f(x)在区间20,上的最大值为2，最小值为－1（2）由（1）可知f(x0)＝2sin620x又因为f(x0)＝65，所以sin620x＝35.由x0∈24,，得2x0＋6∈6732,从而cos620x＝62102xsin＝－45所以cos2x0＝cos6620x＝cos620xcos6＋sin620xsin6＝3431010.【广西桂林】已知24sinsin42xfxxcossincossin1xxxx.（1）求函数fx的最小正周期；（2）常数0，若函数yfx在区间2,23上是增函数，求的取值范围；（3）若函数12122gxfxafxafxa在,42的最大值为2，求实数的值.【解析】（1）2221cossincossin12fxxxxx9222sinsin12sin12sinxxxx.∴2T.（2）2sinfxx.由2222kxk得22,22kkxkZ，∴fx的递增区间为22,,22kkkZ∵fx在2,23上是增函数，∴当0k时，有2,,2322.∴0,,222,23解得304∴的取值范围是30,4.（3）1sin2sincos12gxxaxaxa.令sincosxxt，则2sin21xt.∴22111122ytatatata221242aata.∵sincos2sin4txxx，由42x得244x，∴21t.①当22a，即22a时，在2t处max1222ya.由12222a，解得88221227221a（舍去).②当212a，即222a时，2max142aya，由21242aa得2280aa解得2a或4a（舍去）.10③当12a，即2a时，在1t处max12ay，由122a得6a.综上，2a或6a为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ABC是临江公园内一个等腰三角形．．．．．形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰60CACB米