对称随机变量的若干性质的探究

第14卷第6期2017年12月邵阳学院学报（自然科学版）JournalofShaoyangUniversityNaturalScienceEdition)Vol.14No.6Dec.2017文章编号：1672-7010(2017)06-0015-04对称随机变量的若干性质的探究夏林1，周可2#张海波*(1.安徽信息工程学院计算机与软件工程系，安徽芜湖，241000&2.安徽师范大学经济管理学院，安徽芜湖，241000;3.安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖，241000)摘要：基于已知的对称随机变量的相关性质和定义进行新的探究，给出了对称随机变量与概率、期望、边际分布函数等有关的若干新性质。关键词：对称随机变量;概率;期望；边际分布函数中图分类号:〇212.1文献标志码:AExplorationofSomePropertiesofSymmetricRandomVariablesXIALin1,ZH0UKe2,ZHANGHaibo3(1.SchoolofComputerScienceandSoftwAeEngii^eering,AnhuiInstituteofInformationTeclrnology,Wuhu241000,China;2.SchoolofEconomicsandManagement,AnhuiNormalUniversity,Wuhu241000,China；3.SchoolofMathematicsandComputerScience!AnhuiNormalUniversity，Wuhu241000!China)Abstract：Basedontheknownpropertiesandthedefinitionofsymmetricalrandomvariablestomakeanewexploration，wefundsomenewpropertiesinvolvingprobability，expectationandmarginaldistributionfunctiononsymmetricalrandomvariable.Keywords：symmetricalrandomvariables；probability;expectations;marginaldistributionfunction.随机变量的引进对概率论的研究产生了巨大的影响，我们不再孤立地研究一个问题而是用联系的观点来看待问题。对称随机变量是随机变量中一类重要的变量，对称随机变量相关性质的研究对解决概率论中相关问题具有重要的研究意义。John等人（1972)提出了一种逼近的方法来获得对称随机变量，为对称随机变量性质的研究打下基础[1];于浩等人（1989)建立了独立随机变量收敛性定理，提出了收敛条件，改进和推广了目前的收敛结果[2];汪明瑾(1995)提出了对称随机变量的平均不等式，建立了对称随机变量的算术平均，几何平均期望不等式，将康托洛维奇不等式作为推论导出[3];杨善朝(2000)研究由随机变量和的M_Z_B型收稿日期=2017-08-24基金项目：安黴师范大学科研创新与实践项目（20167^044,20167^046)作者简介:夏林（1992-)，男，安黴巢湖人，硕士，从事高维统计推断研究;E-mail:[e-mail]16邵阳学院学报（自然科学版)第7卷不等式导出Rosenthal型不等式的条件，并证明了M_Z_B型不等式，获得了多种类型随机变量序列的Rosenthal型不等式[4];祝东进(2004)对随机变量的几乎确界进行了研究，讨论在适当的条件下得到随机变量几乎确界的一些性质，并对对称、可逆、倒对称随机变量的几乎确界性质作了进一步的讨论[5];陈光曙(2005)讨论了对称随机变量、逆对称随机变量、倒对称随机变量的概率结构，并得到了他们之间的关系[6];赵婷等人(2010)在一定的矩限制条件下，得到了一个随机变量序列的Hajek-Renyi型不等式，并应用此不等式证明随机变量序列部分和的几乎处处收敛性，同时给出随机变量序列部分和的推广性质和收敛速度[7];张水利等人(2011)利用HOyek-RPyi型最大值不等式研究了对称随机变量序列，并在一定条件下，得到了对称随机变量序列的强大数定律[0];朱玉龙等人^-^)讨论了多维对称随机变量，阐明其分量仍是对称随机变量，并进一步给出多维对称随机变量分布函数的一个充分必要条件[(];朱玉龙等人（2017)阐明了连续型对称随机变量概率密度的偶函数特点[10];张永波等人(2017)提出检测对称变量的算法，为对称变量的检验提供了有效的途径[11];然而关于对称随机变量性质的相关研究很少有人关注，这篇文章主要研究了对称随机变量与概率、期望以及边际分布函数等有关的若干性质，为以后对称随机变量的相关问题的研究提供了理论基础。在给出主要的理论结果之前我们先给出相关的准备知识％定义1%设，是随机变量，如果对于任意的e有5(,,--)=P(Ze)，则称随机变量,具有对称分布。定义2:如果/维随机变量(1工1，^2，，，„^1)，其中=±1，）=1，2，，，/的分布函数均为，F2,…，yJ=5(e1，e2，F2,…，，贝1J称(E1，e，…，E)为维对称随机变量。弓丨理1[12]:若,，【=1，2…/为独立对称随机变量，则5(|+,|,D)=1的充分必要i=1条件是5(+|,|,D)=1。)=1弓丨理2[13]:若随机变量,关于1是对称的，则与下面的任意一个条件等价：(1),-1与有相同的特征函数；(2),-1的特征函数是实值函数。1主要理论结果性质1:若,，|1，2…/为独立对称随机变量，5(,„=0)1，则对任意的C0,存在整数/，使得5(|+,|C)0.)=1证明:假设结论不成立，则有5(|+,|C)=0,知5(|+,|,C)=1，由引理1可)=1)=1nn得5(+|,|，!)=1，说明+|,|，!，&.，从而|,|*0，&.，可得5(,/=0)=1与5(,/=0)1矛盾，从而假设不成立，于是结论得证。性质2:若随机变量，关与1是对称的，当n-$&时，有)1,-1[36(,)!，贝有#,=1。证明：记％,-1,特征函数为IN，因为)丨，-1[36(,)!，所以当&,/，&-时，有!，从而//)(0)=)#%，又因为引理2中的第二个等价条件，可知/f⑴是实值函数，从而当&是奇函数时#*=#(，-1)&=〇,取&=1，则#,-1=0即#,=1。性质3:设{e„，/%1}是对称的随机变量序列，G=+)=E，则对%1，&/0,有5(IGI%&)系25(IGI%&)证明:构造集合丨7:|7}1%&，，/0，当此集合是空集时，令参数=/，当此集合不是空集时令=〇1)|_/:|7)1%&，/，/0，则有5(VA||GI%&)=+Ai5(|GI%&，==)系+=15(|2G-G/I+|G/|%2&，=])^;115(|2G-G/|%&，=j)++;115(|G/|%&，=./1(1)又由于{E，n%1}是对称的随机变量，从而（1)可以化简如下：(1)=)+15(|GnI%&，=)=)5(|Gn|%&)，从而结论得证。性质4:设(E，E)，…，E)是n维对称随机变量$={1，2,…，n}，：={&i，&)，…，&A}匚$，&1,&)〜，&/，Kn-KA-={，)，…，n-K}0$，K=1，2,…，几—1，：+=$，GK=+E&I，G„-i=+，则(GK，Gn2)是二维对称随机变量。证明：由于(E，E)，…，E/)是n维对称随机变量，设(1E，)E)，…，„E/)，^「土1，I=1，2，…，n的分布函数均为6(F，F，…，Fn)，因为5(@G:，E，C)GK，F=)36(F，y2,…，y„)，@二土1，1=1，2，+e&i，e，所以(GK，Gn2)是二维随机变量。性质5:设（E1，E)，…，E/)是n维对称随机变量，分布函数为6(F1，y)，…，Fn)=5(E1，F1，E2，F2,…，En，Fn)，则(E1，E2,…，En-2)的边际分布函数为6^2，…，En_2(F1，F2,…，Fn-2)=6(F1，F2,…，Fn)+6(F，F2,…，1n-1-〇)+6(F1，F2,…，In-0)证明:因为随机变量(1E，)E2，…人-1En-1)，其中=±1，）1，2，…，n-1，的分布函数为^6…，〜，…，n_1En_1(F1，F2，…，Fn-1)=5(1E1，F1，2E2，F2，…，n-1En-1，Fn-1)=5(E1，2E2，…，n-1En-1，Fn-1，nEn，+!)=6(F，F2,…，Fn-1，+!)=，…,En_1(F1，F，…，Fn-1)所以(E1，E)，…，En_1)是对称随机变量。（E1，E)，…，En_1)的分布函数，^E，…,En-(y1，F2,…，Fn-1)=6(F1，F2,…，Fn-1，+!)=5(E1，F1，E2，…，En-1，Fn-1，En，Fn)+5(E1，F1，E2，…，En-1，Fn-1，EnFn)=5(E1，F1，E)，…，En-1，Fn-1，En，Fn)+5(E1，F1，E2，…，En-1，Fn-1，En1n)=6(F1，F2，…，Fn)+6(F，F2，…，Fn-1，In-0)因为(Ej，E2，…，En-)是对称随机变量，同理可得，(Ej，E2，…，En_2)是对称随机变量，且第6期_________________________夏林，周可，张海波：对称随机变量的若干性质的探究__________________________1718邵阳学院学报（自然科学版)第7卷61,E2,...,En_2(F1，F2!…，=6Fi，F)，…，F/-1)+6(Fi，F)，…，1/-1-〇)=6(Fi，y)，…，yJ+6F，F2，…，I/—0)+6F，F2，…，-yn--〇)从而结论得证。2应用举例例1%设随机变量，关于0是对称的，服从均匀分布4'0，1(，则#,=0。因为)|X-〇|ndF(X)=)Xndx=/|1!，由性质2可知，#,=0。例2'14(:/维标准正态随机变量,~$(0，/)的分布函数可表示为F(F1，F2,…，Fn#=$(@)$(@)…$(@)，其中$E)=XT^(-2dN为一维标准正态分J~!槡2布函数，@=(@，@2,…，Cn)G=LnGl1=(F1，F2,…，7/)儿是/阶正交矩阵，满足QnWn=+。于是(E，e，…，e_2)的边际分布函数为FE，E2，...,En_2(F1，F2，…，Fn-2)=$(@1)$(@2)…$(@n)+$(&1)$(&2)…$(&n)+$()$()…$(-)其中&=(&1，&2,…，&n)G=L?(71，F2,…，1n-0)，=(1，2,…，-1)r=L-1G(y1，F2,…，1n-1-0)参考文献：'1]JOHNSRamberg；BRUCEWSchmeiser.Anapproximatemetliodforgeneratingsymmetricrandomvariables'】].CommunicationsoftheACM，1974:17(2):78-82.'2]于浩.独立随机变量的完全收敛性'J].应用概率统计,1989,(2):105-116.[3]汪明瑾.对称随机变量的平均不等式[J].江西师范大学学报（自然科学版），1995，19(4):301-303.'4]杨善朝.随机变量部分和的矩不等式[J].中国科学(A辑），2000,30(3):218-222.'5]祝东进.关于随机变量“几乎确界”的注记'J].安徽师范大学学报（自然科学版），2004,24(4):307-313.'6]陈光曙.对称随机变量的概率结构'J].佳木斯大学学报（自然科学版），2005，23(2):236-239.'7]赵婷，胡舒合，李晓琴，等.一类随机变量的概率不等式及几乎处处收敛性'J].安徽大学学报（自然科学版