《立体图形的直观图》立体几何初步PPT课件

返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版8.2立体图形的直观图返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版内容标准学科素养1.掌握斜二测画法的步骤．2.会用斜二测画法规则画出一些简单的平面图形和空间几何体的直观图.数学抽象直观想象逻辑推理返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版课前•自主探究课堂•互动探究课时•跟踪训练课后•素养培优返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版[教材提炼]知识点一斜二测画法的步骤知识梳理(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，．∠x′O′y′＝45°(或135°)平行保持原长度不变长度为原来的一半返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版知识点二用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤知识梳理(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，用虚线表示．高线被遮线返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版[自主检测]1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是()A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，且长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：画直角坐标系对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以是45°也可以为135°.答案：C返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版2．如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形解析：∵A′B′∥y′，∴由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．答案：B返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版3．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm，若AB∥x轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________，若AB∥y轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________.答案：4cm2cm返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版4．如图所示为一个水平放置的矩形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,2)，则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．解析：直观图如图所示，则O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故B′到x′轴的距离为22.答案：22返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版探究一画水平放置的平面图形的直观图[例1]如图，画出水平放置的等腰梯形的直观图(尺寸自定)．[解析]画法：(1)如图，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版(2)以点O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版画水平放置的平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版1．如图，画出水平放置的直角梯形的直观图．(尺寸自定)解析：(1)在已知的直角梯形ABCD中，以底边AB所在直线为x轴，垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①.(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上取O′B′＝AB，在y′轴上取O′D′＝12AD，过D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC，如图②.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版(3)连接B′C′，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形ABCD的直观图，如图③.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版探究二画空间几何体的直观图[例2]用斜二测画法画出六棱锥P­ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．[解析](1)画出六棱锥P­ABCDEF的底面．如图1所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN为y轴，两轴相交于O.图1返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版图2(2)画相应的x′轴、y′轴和z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；在图2(1)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝12MN；以N′点为中点画B′C′平行于x′轴，且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，且等于EF；连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版(3)画正六棱锥P­ABCDEF的顶点．在z′轴上取点P′，使P′O′＝PO.(4)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并进行整理，便得到六棱锥P­ABCDEF的直观图P′­A′B′C′D′E′F′，如图2(2)所示．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版画空间几何体的直观图的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的12.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版2．画正六棱柱的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2cm)解析：画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．根据x′轴、y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2cm.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版探究三由直观图还原平面图形[例3]如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．[解析](1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版3.(2019·长春高一检测)如图，正方形O′A′B′C′的边长为a，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是多少？解析：∵O′A′＝a，对角线O′B′＝2a，∴原图形中OA＝O′A′＝a，OB＝2O′B′＝22a，且△OBC为直角三角形，∴OC＝a2＋22a2＝9a2＝3a，∴原图形周长是2(3a＋a)＝8a.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版探究四直观图与原图形的面积[例4]如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原图形的面积．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版[解析]如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D与y轴平行的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A与x轴平行的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.故面积为S＝2＋32×2＝5.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版直观图与原图形的面积问题方法1：由直观图还原出原图形，进而确定相关的量，从而求出原图形的面积．方法2：不作图，直接根据面积关系S直＝24S原求解.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版4．已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是()A.62a2B.64a2C.68a2D.616a2返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版解析：因为正△ABC的边长为a，所以其面积S＝34a2，又因为直观图面积S′与原图面积之比为24，即S′S＝24，所以S′＝24×34a2＝616a2，故选D.答案：D返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版5．直观图如图，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．答案：矩形8返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版一、转化与化归思想——在三视图与直观图中的应用►直观想象、逻辑推理、数学运算[典例1]某几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版[解析](1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．利用斜二测画法，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′.(3)画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版[素养提升]由三视图画几何体的直观图，首先要认清几何体的结构特征，这是解决此类问题的关键，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图．画旋转体的直观图时，常用椭圆模板画底面圆的直观图．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版二、斜二测画法——联系直观图与原图形的桥梁►直观想象、逻辑推理、数学运算斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版[典例2]一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．返回导航下页上页必修第二册·人教数学A版[解析]过A作AE⊥BC，垂足为E(图略)，又∵DC⊥BC且AD