小学奥数--5-3-1-质数与合数(一).教师版

5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page1of71.掌握质数与合数的定义2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题3.能够利用质数个位数的特点解题4.质数、合数综合运用一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、判断质数合数【例1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【考点】判断质数合数【难度】1星【题型】填空【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1234567891011121314杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；1516171819202122232425262728例题精讲知识点拨知识框架5-3-1.质数与合数（一）5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page2of7九天九霄志凌云，九七共庆手相握；2930313233343536373839404142聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．4344454647484950515253545556将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【例2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6=3+3，12=5+7，等。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100=3+97和100=97+3算作同一种形式）。【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第13题，15分【解析】逐一试验，可知：10039711891783297141594753为所有符合条件的情况，所以共6种。【答案】6【例3】在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（）.（A）0(B)1(C)2(D)3【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛初赛第4题【解析】19是常见的质数，197容易检验知也是质数，本题主要是考查2009这个数是否是质数。实际上，2009=7×41，是个合数，所以在19，197，2009这三个数中有2个质数。正确答案为C。【答案】C【例4】大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？．【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159．【答案】质数是314159【例5】用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空【关键词】保良局亚洲区城市小学数学邀请赛【解析】“L数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L—质数”应为上列数中去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L—质数”是31．【答案】31【例6】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答【解析】我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109是4个质数。【答案】101，103，107，109是4个质数5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page3of7【例7】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5197171113.每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是55515，最大是19191957，经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。【答案】22【例8】自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答【关键词】全国小学奥林匹克【解析】这样的自然数有4个：23，37，53，73．【答案】4【例9】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中ab，而且ab和ba都是质数(a和b是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答【解析】若两位数ab、ba均为质数，则a、b均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数．【答案】8【例10】炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】填空【关键词】南京市青少年“科学小博士”思维训练【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：【答案】5、17、29答案不唯一【例11】图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page4of7质数列乙填“积数”甲填“和数”978913117532351561285.................................问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，口试【解析】质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【答案】质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以甲填的数与乙填的数都不相同．【例12】从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答【关键词】全国小学数学奥林匹克【解析】由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数是98567432．数字排列如下图．34765892【答案】98567432【例13】九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答【关键词】祖冲之杯【【解解析析】】仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人222232323529(个)．【答案】24辆车，529位老人【例14】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为【考点】判断质数合数【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，8分【解析】两位数乘以3之后，数字和一定被3整除。又因为是质数，所以只能是3。有102，111，120，201，210这五种情况。依次分析：3倍原数数字和5倍数字和7倍数字和102347（质）1708（合）1113710（合）120404（合）5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page5of72016713（质）33511（质）46919（质）210707（质）3508（合）所以，满足条件的两位数为67【答案】67【例15】三位数A满足：它的所有质因数之和是26。这样的三位数A有个。【考点】判断质数合数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试，第6题【解析】26以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23，所以这样的三位数有13个。【答案】13模块二、质数个位性质【例16】哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数宇是1?【考点】偶质数2【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛初赛第8题【解析】个位数字是1的两位质数有：11，31，41，61，71，其中168－11＝157，168－31＝137，168－41＝127168－61＝107，都不是两位数，只有168－71＝97是两位数．而且是质数．所以168＝71＋97是唯一的解【答案】71与97【例17】有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，