谈谈点关于直线对称问题求法

1谈谈点关于直线对称问题求法在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，（如图1）点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点P1坐标为（x1,y1），则由中点坐标公式可得a=（x0+x1）/2,y0=y1即：x1=2a-x0,y1=y0所以得P1坐标为（2a-x0,y0）；当直线斜率为0时，（如图2）点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点P1坐标为（x2,y2）则由中点坐标公式可得b=（y0+y2）/2,x0=x2即：y2=2b-y0,x2=x0所以得P1坐标为(x0,2b—y0)。图1图2图3下面介绍一般情况下，求点P(x0,y0)关于直线l：y=kx+b（k≠0）的对称点P1的坐标（如图3），设P1点坐标为（x，y），则由直线PP1与l垂直及线段PP1的中点在l上，可得：{)2(22)1(10000bxxkyykxxyy解这个关于x、y的二元一次方程组，得：{)4(12)1(2)3(12)1(220202020kbykkxykbkxkkyx可以验证：该公式在k=0时仍然成立。一般情况下运用该公式较繁，也没有必要记住这个公式，但当直线的斜率为+1或者-1时，该公式变的简单明了，而且应用起来非常方便。当k=l时，将k值代入（3）（4）得：x=y0-b,y=x0+b.当k=-l时，将k值代入（3）（4）得：x=-y0+b.y=-x0+b.可见：在直线的斜率为+1或者-1时，只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的x的值的为对称点的横坐标，将原来点的横坐标代入直线方程中求得的y值即为对称点的纵坐标。例1:求点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标。解：在直线方程y=x+3,将x代为3，得：y=6即为对称点纵坐标，将y=5代入直线方程求,得:x=2即为对称点横坐标。所以：点（3，5）关于直线y=x+3的对称点坐标为（2，6）。例2：求点（a.b）关于直线y=-x+1的对称点2解：在直线方程y=-x+1中，x代为a，得：y=-a+1即为对称点的纵坐标，将y代为b,得：x=-b+1,即为对称点的横坐标。即：点（a,b）关于直线y=-x+1的对称点坐标为（-b+1，-a+1）。在直线斜率为1或者-1时，应用上述公式可以快速准确的计算出已知点关于直线对称点的坐标，在平时学习中应不断总结，并指导学生撰写此类小论文，可达到举一反三，事半功倍之效。直线中对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。1、点关于点的对称例1已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B（00y,x）。分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。解：设点A（－2，3）关于点P（1，1）的对称点为B（00y,x），则由中点坐标公式得,12y3,12x200解得1y,4x00所以点A关于点P（1，1）的对称点为B（4，－1）。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。2、直线关于点的对称例2求直线04yx3关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为0byx3。解：由直线l与04yx3平行，故设直线l方程为0byx3。由已知可得，点P到两条直线距离相等，得.13|b16|13|416|22解得10b，或4b（舍）。则直线l的方程为.010yx3评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线04yx3上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。3、点关于直线的对称例3求点A（2，2）关于直线09y4x2的对称点坐标。利用点关于直线对称的性质求解。解法1（利用中点转移法）：设点A（2，2）关于直线09y4x2的对称点为A′（00y,x），则直线AA′与已知直线垂直，故可设直线AA′方程为0cy2x4，把A（2，2）坐标代入，可求得12c。∴直线AA′方程为06yx2。由方程组06yx2,09y4x2解得AA′中点M3,23。由中点坐标公式得322y,2322x00，解得.4y,1x00∴所求的对称点坐标为（1，4）。3评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。分析：设B（a，b）是A（2，2）关于直线09y4x2的对称点，则直线AB与l垂直，线段AB中点在直线09y4x2上。解法2（相关点法）：设B（a，b）是A（2，2）关于直线09y4x2的对称点，根据直线AB与l垂直，线段AB中点在直线09y4x2上，则有,0922b422a2,12a2b21解得.4b,1a∴所求对称点的坐标为（1，4）。评注：①中点在09y4x2上；②所求点与已知点的连线与09y4x2垂直。4、直线关于直线的对称例4求直线02yx:l1关于直线03yx3:l2对称的直线l的方程。分析：设所求直线l上任一点为P（y,x），利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线1l方程进行求解。解：设所求直线l上任意一点P（y,x）（2lP）关于2l的对称点为Q（11y,x），则,1xxyy,032yy2xx31111解得.53y4x3y,59y3x4x11又因为点Q在1l上运动，则2yx110。0253y4x359y3x4，解得022yx7。即直线l的方程为022yx7。评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线1l上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线2l的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。[例1]求点A（4,1）关于直线l：02732yx的对称点。解：设点A（4,1）关于l的对称点B（yx,）∴1)32(14027243212xyyx∴B（1,3）[例2]1l：0223yx，l：02yx，求1l关于l的对称直线2l。解：42020223yxyxyxA（0，1）在直线1l上，关于l对称点B（yx,）∴B（53,54）由两点式∴2l：010617yx例4求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解方法一由132xyxy知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，4由点到直线的距离公式得221122kkk=22)1(2322，解得k=21(k=2舍去)，∴直线l2的方程为x-2y=0.方法二设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P22,200yyxx在直线l上.∴122110000xxyyxxyy，变形得1100xyyx,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.