现代数字信号处理课程回顾

现代数字信号处理课程回顾第一章时域离散随机信号的分析第二章维纳滤波和卡尔曼滤波第三章自适应数字滤波器第四章功率谱估计第五章时频分析第一章时域离散随机信号的分析主要内容：平稳随机信号的统计描述随机序列数字特征的估计平稳随机序列通过线性系统时间序列信号模型对一个随机序列的统计描述，可以由这个序列的自相关函数来高度概括。对一平稳随机信号，只要知道它的自相关函数，就等于知道了该随机信号的主要数字特征。222222(0);();(0)()xxxxxxxxxxxxDExnrmrExnmrr自相关函数及其性质：()xxrmcov()xxm2xm2()xDm2()xm的特性的特性()xxrmcov()xxmmm()(),cov()cov()()(),cov()cov()xxxxxxxxxyyxxyyxrmrmmmrmrmmm(0)|()|xxxxrrm各态遍历性：11()[()]lim(,)NxNimnEXnxniN**11(,)[()()]lim(,)(,)NxxNirnmEXnXmxnixmiN1()lim()21NNnNxnxnN**1()()lim()()21NNnNxnxnmxnxnmN只要一个实现时间充分长的过程能够表现出各个实现的特征，就可以用一个实现来表示总体的特性。〈x(n)〉=mx=E［X(n)］〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］功率密度谱：j(e)()ejmxxxxPrmxx-1()P(e)ed2jjmxxrm维纳–––辛钦定理（Wiener-KhinchinTheorem）()()xxxxPPPxx(ω)≥0随机序列数字特征的估计：估计准则：无偏性、有效性、一致性均值的估计：方差的估计：自相关函数的估计：101ˆNiixxNm1022)ˆ(1ˆNnxnxmxN||101ˆ()()()||NmxxnrmxnxnmNm)()(1)(ˆ1||0'mnxnxNmrmNnxx平稳随机序列通过线性系统：kykknxEkhnyEmknxkhny)]([)()]([)()()(**()()()()()()()*yyxxlkxxxxrmrmlhkhlkrmvmrmhmhm2**1()()()jjjyyxxyyxxPzPzHzHPePeHez相关卷积定理：卷积的相关函数等于相关函数的卷积e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n)ref(m)=rac(m)*rbd(m)ryy(m)=rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m)()(),()()hhrmhmrmhm时间序列信号模型：H(z)w(n)x(n)111()()()1qiiipiiibzBzHzAzaz22()()()jxxwjBePAe1()()HzAz221()()xxwjPAe22()()jxxwPBe()()HzBzMA模型ARMA模型AR模型滤波器阶数：对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，阶数是指p的大小，如果用差分方程表示，则p就是差分方程的阶数。对于FIR滤波器或者MA模型的阶数，则是指q的大小，或者说是它的长度减1。三种信号模型可以相互转化，而且都具有普遍适用性，但是对于同一时间序列用不同信号模型表示时，却有不同的效率。这里说的效率,指的是模型的系数愈少，效率愈高。谱分解定理：如果功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),满足式中，ak,bk都是实数，a0=b0=1,且|αk|＜1,|βk|＜1。pkkqkkpkkkqkkkzzzazbzAzBzH111100)1()1()()()()()()(12zHzHzPwxx02wrxx(m)Pxx(z)H(z)Z变换Z反变换谱分解21()()()xxwPzHzHz自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系第二章维纳滤波和卡尔曼滤波主要内容：FIR维纳滤波求解IIR维纳滤波求解维纳一步线性预测x(n)s(n)v(n)h(n)y(n)x(n)=s(n)+v(n)ˆ()()()()mynsnhmxnm()()()ensnyn22min2()()()min()optjoptjminEenhnEenehn最佳滤波器：维纳—霍夫方程：0)()()()(0***mmnxmhndknxE维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：()()()()()010xdxxxxmrkhmrkmhkrkmMFIRmIIRmIIR维纳滤波器因果维纳滤波器非因果维纳滤波器FIR维纳滤波求解：)()()()()(10krkhmkrmhkrxxMmxxxdk=0,1,2,…hRRxxxd12(0)(1)(1)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)xxxxxxxdxxxxxxxdxdxxxdMxxxxxxrrrMhrhrrrMrhRRrMhrMrMr1optxxxdhhRRoptxddxdxxxddhRRRRneET*21T*2min2)()(]|)([|xxxsxvssvvrmrmrmrmrm)()()()()(krkhmkrmhkrxxmxxxd设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z))()()(zSzSzHxxxsopt非因果IIR维纳滤波求解：)()()()()()(zSzSzSzSzSzHvvssssxxxsopt信号和噪声不相关时因果IIR维纳滤波求解：对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为0()()()()()xdxxxxmrkhmrkmhkrkk=0,1,2,…)(1zB(b)H(z)x(n)=s(n)+υ(n))(ˆ)(nsnyx(x(n)(a))(nwG(z))(ˆ)(nsnyx(图2.3.5利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:因果维纳滤波器的复频域最佳解为)()()(11)()()(12optzBzSzBzBzGzHxsopt22min201opt|()|[|()|](0)1d()()()2πjwssskwssxsCrkEenrzSzHzSzz因果维纳滤波的最小均方误差为通过前面的分析,因果维纳滤波器设计的一般方法可以按下面的步骤进行：(1)根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)。(2)求的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外的极点，得(3)积分曲线取单位圆，应用（2.3.38）式和（2.3.39）式，计算Hopt(z),E［|e(n)|2］min。)()(1zBzSxs)()(1zBzSxs维纳预测：H(z)x(n)=s(n)+υ(n))(ˆ)(nsnyx(H(z)x(n)=s(n)+υ(n)ˆ()()ynsnN图2.4.1(b)维纳预测器图2.4.1(a)维纳滤波器min)(ˆ)(2NnsNnsE一步线性预测：采用p个最近的采样值来预测时间序列下一时刻的值，包括前向预测和后向预测两种。x(n－p),x(n－p＋1),…,x(n－2),x(n－1),x(n)后向预测前向预测1ˆˆ()()()()()pkynsnxnhkxnk前向预测：pkpkpkpkknxaknxanxnxnxne01)()()()(ˆ)()(2**min**11ˆ[|()|][()(()())][()()]()()()(0)()ppkkpxxpkxxkEenEenxnxnEenxnExnaxnkxnrark得到下面的方程组：pkxxpkxxpkxxpkxxpllkralrneEkrar11min2,,2,10)()(]|)([|)()0(将方程组写成矩阵形式（Yule-Walker方程）00]|)([|1)0()1()()1()0()1()()1()0(min21neEaarprprprrrprrrpppxxxxxxxxxxxxxxxxxx第三章自适应数字滤波器主要内容：LMS自适应横向滤波器LMS自适应格型滤波器自适应滤波器的应用LMS自适应横向滤波器：H(z)y(n)x(n)d(n)e(n)＋－e(n)=d(n)-y(n)2()minEenwn10)()()(NmmnxmwnyWRWWRdEeExxdxjjTT222][][T222212*1[][][]min[],,,0jjjjjNxxdxEeEeEeEe最佳权矢量W*和最小均方误差：22***2*min[][]2[]TTTjjdxxxjdxEeEdRWWRWEdRW1(22)[2]2jjjjdxxxjxxjdx其中,μ是一个控制稳定性和收敛速度的参量，称之为收敛因子。方向是性能函数下降最快的方向，因此称为最陡梯度下降法。j-Widrow-HoffLMS算法：最陡下降法：Widrow-HoffLMS算法：ˆjjT222212222212[][][],,,ˆjjjjjNjjjjjNEeEeEeEe采用梯度的估计值代替梯度的精确值。1ˆ2jjjjjjjjLMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的，其统计平均值等于最陡下降法的加权矢量。加权系数的变化均方误差的变化minvv＝w－woptj图3.2.10LMS算法稳态误差μ值的影响对稳定性的影响：2max111000()[]xxjtrRNEx对收敛速度的影响：minmaxmseminmax4121预测误差格型滤波器：)(nefp)(nebp......x(n)z-1z-1e0(n)e1(n)b0(n)b1(n)k1k1k2k2kpkp)(nefp)(nebp)(1nefp)(1nebpkpkp(a)(b)z-1z-11111()()(1)()(1)()ffbppppbbfppppenenkenenenkenLMS自适应格型滤波器：在满足预测误差的均方值最小的准则下，最佳自适应格型滤波器求解关键在于计算出反射系数。其方法有：222min[(())(())]pfbpppLevinsonDurbinkEenenBurgk1、观测数据估计自相关函数递推求、观测数据法求自适应滤波器的应用：信号源噪声源自适应滤波器原始输入系统输出参考输入xj＝n1dj＝sj＋n0＋－yjZj2200m