北师大版高三数学复习专题-平面向量基础达标-第5章第2节

第五章第二节一、选择题1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b[答案]B[解析]设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)，即λ－μ＝4，λ＋μ＝2，解得λ＝3，μ＝－1，∴c＝3a－B．2．(文)已知a＝(4,5)，b＝(8，y)，且a∥b，则y等于()A．5B．10C．325D．15[答案]B[解析]∵a∥b，∴4y－40＝0，得y＝10.(理)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2[答案]D[解析]考查向量的坐标运算及两向量互相平行的充要条件．a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，由题意可得3×(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.3．(文)(2014·北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝()A．(5,7)B．(5,9)C．(3,7)D．(3,9)[答案]A[解析]本题考查了平面向量的坐标运算．∵a＝(2,4)，b＝(－1,1)，∴2a－b＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)．(理)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)[答案]B[解析]一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内的其它向量．A中，e1＝0，且e2与a不共线；C、D中的两个向量都是共线向量且不与a共线，故表示不出A．B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出A．4．(2014·德州模拟)设OB→＝xOA→＋yOC→，x，y∈R且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则x＋y＝()A．－1B．1C．0D．2[答案]B[解析]如图，设AB→＝λAC→，则OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋λAC→＝OA→＋λ(OC→－OA→)＝OA→＋λOC→－λOA→＝(1－λ)OA→＋λOC→∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.5．(文)已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB→＋BC→＝CA→；③OA→＋OC→＝OB→；④AC→＝OB→－2OA→.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]∵OC→＝(－2,1)，BA→＝(2，－1)，∴OC→＝－BA→，∴OC→∥BA→.又由坐标知点O，C，A，B不共线，∴OC∥BA，①正确；∵AB→＋BC→＝AC→，∴②错误；∵OA→＋OC→＝(0,2)＝OB→，∴③正确；∵OB→－2OA→＝(－4,0)，AC→＝(－4,0)，∴④正确．故选C．(理)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A．AC→＝AB→＋AD→B．BD→＝AD→－AB→C．AO→＝12AB→＋12AD→D．AE→＝53AB→＋AD→[答案]D[解析]由向量加法的三角形法则知：BD→＝AD→－AB→正确，排除B；由向量加法的平行四边形法则知：AC→＝AB→＋AD→，AO→＝12AC→＝12AB→＋12AD→，排除A，C，故选D．6．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定向量b和正数μ，总存在单位向量c，使a＝λb＋μC．④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μC．上述命题中的向量b、c和a在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e与b是不共线单位向量，则存在实数λ，y使a＝λb＋ye，若y0，则取μ＝y，c＝e，若y0，则取μ＝－y，c＝－e，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b和c就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b与c垂直，此时必须a的模为2才成立．二、填空题7．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．[答案]12[解析]∵a∥b，∴3(2x＋1)－4(2－x)＝0，∴x＝12.8．(2014·陕西高考)设0θπ2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.[答案]12[解析]本题考查向量共线，倍角公式．∵a∥b，∴sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ，即sinθcosθ＝tanθ＝12.9．e1，e2是不共线向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，若b，c为一组基底，则a＝________.[答案]－118b＋727c[解析]设a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，解得λ1＝－118，λ2＝727，∴a＝－118b＋727C．三、解答题10．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM→＝t1OA→＋t2AB→.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．[解析](1)OM→＝t1OA→＋t2AB→＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有4t20，2t1＋4t2≠0，故所求的充要条件为t20且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知OM→＝(4t2,4t2＋2)，∵AB→＝OB→－OA→＝(4,4)，AM→＝OM→－OA→＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB→，又∵AB、AM有公共点A，∴A、B、M三点共线.一、选择题1．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、C．设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为()A．π6B．π3C．π2D．2π3[答案]B[解析]∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，即ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又∵C∈(0，π)，∴C＝π3，故选B．2．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．垂心C．内心D．重心[答案]D[解析]∵OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，∴OP→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，λ∈[0，＋∞)，∴AP→＝λ(AB→＋AC→)，∴P在BC边的中线上．故P的轨迹通过△ABC的重心，故选D．二、填空题3．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则1m＋1n的值为________．[答案]－12[解析]解法1：设BC方程为ym＋xn＝1，∵A、B、C共线，∴－2m＋－2n＝1，∴1m＋1n＝－12.解法2：∵A、B、C共线，∴AB→∥AC→，∵AB→＝(2，m＋2)，AC→＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，∴mn＋2m＋2n＝0，∵mn≠0，∴1m＋1n＝－12.4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝________.[答案]{(－2，－2)}[解析]由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，由1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2，解得λ1＝－1λ2＝0，∴M∩N＝{(－2，－2)}．三、解答题5．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，试求t的值．[解析]∵CP→＝23CA→＋13CB→，∴3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，∴2AP→＝PB→，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示，∵A，M，Q三点共线，∴设CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(x－1)AC→，而CB→＝AB→－AC→，∴CM→＝x2AB→＋(x2－1)AC→.又CP→＝AP→－AC→＝13AB→－AC→，由已知CM→＝tCP→可得，x2AB→＋(x2－1)AC→＝t(13AB→－AC→)，∴x2＝t3，x2－1＝－t，解得t＝34.6．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．[解析]解法1：设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，∵OP→，OB→共线，OB→＝(4,4)，∴4x－4y＝0.①又CP→＝(x－2，y－6)，CA→＝(2，－6)，且向量CP→，CA→共线，∴－6(x－2)－2(6－y)＝0.②解由①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，∴点P的坐标为(3,3)．解法2：设OP→＝tOB→＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP→＝OP→－OA→＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC→＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP→，AC→共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝34，∴OP→＝(4t,4t)＝(3,3)，∴P点坐标为(3,3)．