北师大版高三数学复习专题-平面向量基础达标-第5章第1节

第五章第一节一、选择题1．下列命题中为假命题的是()A．向量AB→与BA→的长度相等B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相同[答案]D[解析]由定义可知，A、B、C正确．由于共线的单位向量方向可以相同或相反，故D错误．2．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()A．PA→＋PB→＝0B．PB→＋PC→＝0C．PC→＋PA→＝0D．PA→＋PB→＋PC→＝0[答案]C[解析]解法1：由向量加法的平行四边形法则易知，BA→与BC→的和向量过AC边上的中点，长度是AC边上的中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故PA→＋PC→＝0.解法2：∵BC→＋BA→＝2BP→，∴PB→＋BC→＋PB→＋BA→＝0，即PC→＋PA→＝0.3．(2014·新课标Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则EB→＋FC→＝()A．AD→B．12AD→C．BC→D．12BC→[答案]A[解析]如图，EB→＋FC→＝－12(BA→＋BC→)－12(CB→＋CA→)＝－12(BA→＋CA→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→.4．(文)下列命题中真命题是()①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb②a∥b⇔存在不全为0的实数λ1和λ2使λ1a＋λ2b＝0③a与b不共线⇔若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0④a与b不共线⇔不存在实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0A．①③B．②③C．①④D．②④[答案]B(理)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－B．如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向[答案]D[解析]考查向量相等及向量平行的条件．∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)，∴k＝λ1＝－λ，∴k＝－1，λ＝－1.故选D．5．非零向量OA→，OB→不共线，且2OP→＝xOA→＋yOB→，若PA→＝λAB→(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0[答案]A[解析]PA→＝λAB→，得OA→－OP→＝λ(OB→－OA→)，即OP→＝(1＋λ)OA→－λOB→.又2OP→＝xOA→＋yOB→，∴x＝2＋2λ，y＝－2λ，消去λ得x＋y＝2.6．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形[答案]C[解析]AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，∴AD→∥BC→，且|AD→|＝2|BC→|，∴四边形ABCD为梯形．故选C．二、填空题7．化简：(1)AB→－AD→－DC→＝________(2)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝________[答案](1)CB→(2)0[解析]运用三角形法则求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同始连终，指向被减”．(1)AB→－AD→－DC→＝DB→－DC→＝CB→.(2)解法1：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→＋BD→)－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0.解法2：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0.8．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.[答案]－13[解析]由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴λ＝－k3k＝1，解得λ＝－13k＝13.9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________．[答案]直角三角形[解析]OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．三、解答题10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？[分析]运用向量共线的条件，确定是否存在实数k，使是d＝kC．[解析]d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.要使c∥d，则应存在实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2，∵e1，e2不共线，∴2λ＋2μ＝2k，－3λ＋3μ＝－9k，∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d与c共线.一、选择题1．(2014·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A．OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→[答案]D[解析]本题考查了平面向量平行四边形法则，OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.2．(文)已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上[答案]B[解析]本题考查平面向量的共线问题，由CB→＝λPA→＋PB→得CB→－PB→＝λPA→，∴CP→＝λPA→.则CP→与PA→为共线向量，又CP→与PA→有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B．(理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC→＝2BD→，CE→＝2EA→，AF→＝2FB→，则AD→＋BE→＋CF→与BC→()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直[答案]A[解析]AD→＋BE→＋CF→＝AB→＋BD→＋BC→＋CE→＋BF→－BC→＝AB→＋13BC→＋BC→－23AC→－13AB→－BC→＝23(AB→－AC→)＋13BC→＝23CB→＋13BC→＝－13BC→，故选A．二、填空题3．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是________．[答案]23[解析]由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.4．在△ABC中，点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若AB→＋AC→＋mAM→＝0，则实数m的值为______．[答案]－3[解析]由MA→＋MB→＋MC→＝0知M为△ABC的重心，设BC的中点为D，则有AB→＋AC→＝2AD→，而AM→＝23AD→，故2AD→＋23mAD→＝0，∴m＝－3.三、解答题5．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在一条直线上？[解析]设a－tb＝λ[a－13(a＋b)](λ∈R)，化简整理得(23λ－1)a＋(t－13λ)b＝0，∵a与b不共线，∴由平面向量基本定理有23λ－1＝0，t－λ3＝0，∴λ＝32，t＝12.故t＝12时，a，tb，13(a＋b)的终点在一条直线上．6．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上|AD||AB|＝13，|AE||AC|＝14，BE与CD交于点P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.[解析]取AE的三等分点M，使AM＝13|AE|，连接DM.设|AM|＝t，则|ME|＝2t.又|AE|＝14|AC|，∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，且DM∥BE.AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC)＝13AB→＋211(－13AB→＋AC→)＝311AB→＋211AC→＝311a＋211B．