北师大版高三数学复习专题-导数及其应用课件-第3章第3节

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用导数及其应用第三章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用第三节导数在函数最值及生活实际中的应用第三章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用考纲要求命题分析1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2．会利用导数解决某些实际问题.应用导数求函数的最值是高考的重点内容，题型以解答题为主．除考查导数的知识外还与其它知识如不等式、数列、解析几何等联系，难度为中高档题．预测2016年高考仍然突出导数的工具性，重点考查导数与函数的单调性、极值、最值等问题，突出转化与化归、分类讨论和数形结合等思想方法的考查.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用1.函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上________有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)________有最大值与最小值．必不一定走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(2)求最大值与最小值的步骤：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的________值；②将f(x)的各________值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极极f(a)，f(b)走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用2．解决优化问题的基本思路用函数表示的数学问题走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用1.函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间[12，2]上的最大值和最小值分别是()A．21，－18B．1，－18C．21,0D．0，－18[答案]A走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[解析]令f′(x)＝8x3－6x＝0，得x＝0或x＝±32，x＝0及x＝－32不合题意，舍去．∵f(32)＝2×916－3×34＋1＝－18，f(12)＝38，f(2)＝21，所以原函数在区间[12，2]上的最大值为f(2)＝21，最小值为f(32)＝－18，故选A．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对[答案]A[解析]f′(x)＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增加的，在(0,2)上为减少的，∴当x＝0时，f(x)＝m最大，∴m＝3，f(－2)＝－37，f(2)＝－5.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用3．函数f(x)＝xex，x∈[0,4]的最大值是()A．0B．1eC．4e4D．2e2[答案]B[解析]f′(x)＝ex－xexex2＝1－xex＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，∴x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴f(1)为最大值．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a1B．0a1C．－1a1D．0a12[答案]B[解析]f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，显然a0，f′(x)＝3(x＋a)(x－a)，由已知条件0a1，解得0a1.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用5．当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的底面半径为________时，才能使饮料罐的体积最大．[答案]S6π[解析]设圆柱形金属饮料罐的底面半径为R，高为h.S＝2πRh＋2πR2⇒h＝S－2πR22πR⇒V(R)＝S－2πR22πRπR2＝12(S－2πR2)R＝12SR－πR3⇒V′(R)＝12S－3πR2，令V′(R)＝0，∴R＝S6π.因V(R)只有一个极值点，故它就是最大值点．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．[答案]9[解析]本题考查了导数的应用及求导运算．∵x0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，得x＝9；当x∈(0,9)时，y′0，x∈(9，＋∞)，y′0.y先增后减，∴x＝9时函数取最大值．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(文)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．利用导数研究最值[思路分析](1)求导函数f′x→列g－x＝－gx→比较系数求a，b(2)解方程f′x＝0→列出f′x，fx变化表走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[规范解答](1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋B．因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋B．因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)·(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－13，b＝0.因此f(x)＝－13x3＋x2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(2)由(1)知g(x)＝－13x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2.令g′(0)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x－2或x2时，g′(x)0，从而g(x)在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减少的；当－2x2时，g′(x)0，从而g(x)在[－2，2]上是增加的．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用由前面讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2时取得，而g(1)＝53，g(2)＝423，g(2)＝43.因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[方法总结]函数极值与最值的区别与联系：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(理)已知f(x)＝xlnx.(1)求函数y＝f(x)的图像在x＝e处的切线方程；(2)设实数a0，求函数F(x)＝fxa在[a,2a]上的最小值．[思路分析](1)利用导数的几何意义求切线方程．(2)要注意对a与极值点进行讨论分析．[规范解答](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，∵f(e)＝e，且f′(e)＝2，∴函数y＝f(x)在x＝e处的切线方程为y＝2(x－e)＋e，即y＝2x－e.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(2)F′(x)＝1a(lnx＋1)，令F′(x)＝0得x＝1e.当x∈(0，1e)时，F′(x)0，F(x)是减少的；当x∈(1e，＋∞)时，F′(x)0，F(x)是增加的．①当a≥1e时，F(x)在[a,2a]上是增加的，F(x)min＝F(a)＝lna；走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用②当a1e2a，即12ea1e时，F(x)在[a，1e]上是减少的，在[1e，2a]上是增加的，F(x)min＝F(1e)＝－1ea；③当2a≤1e，即0a≤12e时，F(x)在[a,2a]上是减少的．∴F(x)min＝F(2a)＝2ln2A．综上可知F(x)的最小值为F(x)min＝2ln2a，a∈0，12e]－1ea，a∈12e，1elna，a∈[1e，＋∞走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[方法总结]1.根据最值的定义，求在闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f′(x)＝0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)值．2．定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(文)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．[解析](1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有f′2＝0f2＝c－16，即12a＋b＝08a＋2b＋c＝c－16，化简得12a＋b＝04a＋b＝－8，解得a＝1，b＝－12走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,2)时，f′(x)0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(理)(2014·安徽高考)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．[解析](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2，令f′(x)＝0得x1＝－1－4＋3a3，x2＝－1＋4＋3a3，x1x2，走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)，当xx1或xx2时，f′(x)0；当x1xx2时，f′(x)0，故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．(2)因为a0，所以x10，x20，①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用②当0a4时，x21，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，所以f(x)在x＝