北师大版高三数学复习专题-导数及其应用课件-第3章第2节

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用导数及其应用第三章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用第二节导数在函数单调性、极值中的应用第三章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用考纲要求命题分析1.了解函数单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．3．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．4．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).每年的高考命题中都有导数应用的解答题出现，对导数的考查非常全面，既有选择题、填空题等客观题，又有解答题，通常以解答题为主，并且所占的分值较高．常见的考查方式有两种形式：一是直接把导数应用于多项式函数性质的研究，考查多项式函数的单调性、极值、最值等，二是把导数与函数、方程、不等式、数列等相联系，进行综合考查，主要考查函数的最值或求参数的值(或范围)．预测2016年高考对本节知识的考查仍将突出导数的工具性，重点考查利用导数研究函数极值、最值及单调性等问题．在2016年备考中应予以高度关注.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用1．函数的单调性与导数递增递减走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用2．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值________，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．都小f′(x)0f′(x)0走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值________，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，________和________统称为极值．都大f′(x)0f′(x)0极大值极小值走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用1.(教材改编题)函数f(x)＝x3＋x的增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)和(0，＋∞)[答案]C[解析]因为f′(x)＝3x2＋10对任意x∈R恒成立，故f(x)的增区间为(－∞，＋∞)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用2．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点[答案]D走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[解析]f′(x)＝－2x2＋1x＝1x(1－2x)＝0可得x＝2.当0x2时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f′(x)0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用3．(2014·新课标Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件[答案]C[解析]∵x＝x0是f(x)的极值点，∴f′(x)＝0，即q⇒p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒/q，故选C．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用4．(文)函数f(x)＝ax2－b在区间(－∞，0)内是减函数，则a，b应满足()A．a0且b＝0B．a0且b∈RC．a0且b≠0D．a0且b∈R[答案]B[解析]f′(x)＝2ax，当x0时，由f′(x)＝2ax0，得a0，∴a0，b∈R.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[答案]D[解析]y′＝3ax2－1，∵函数y＝ax3－x在R上是减函数，∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0.(理)函数y＝ax3－x在R上是减函数，则()A．a＝13B．a＝1C．a＝2D．a≤0走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用5．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．[答案](－1,11)[解析]本题主要考查求导公式和单调区间．f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)0得－1x11∴f(x)的单调减区间为(－1,11)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用6．(文)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．[答案]2[解析]本题考查利用导数判断函数的极值点．∵f(x)＝x3－3x2＋1，∴f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，解得x1＝0或x2＝2.x0时，f′(x)0；0x2时，f′(x)0；x2时，f′(x)0.∴x＝2时，f(x)取极小值．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(理)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增加的，则a的最大值是________．[答案]3[解析]∵f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增加的，∴f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而当x∈[1，＋∞)时，(3x2)min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当t0时，求f(x)的单调区间．[规范解答](1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.利用导数求函数的单调区间走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(2)f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝t2.因t0，则－tt2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用x(－∞，－t)－t，t2t2，＋∞f′(x)＋－＋f(x)所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，t2，＋∞；f(x)的单调递减区间是－t，t2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[方法总结]求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实数根．(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(文)求下列函数的单调区间：(1)y＝x3－12x2－2x＋5；(2)y＝2x2－lnx.[解析](1)∵y′＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，∴令y′0，得x∈(－∞，－23)∪(1，＋∞)．当y′0时，x∈(－23，1)．∴函数的增区间为(－∞，－23)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－23，1)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(2)∵y′＝4x－1x＝4x2－1x，定义域为(0，＋∞)，令y′0，得x∈(0，12)．令y′0，得x∈(12，＋∞)．∴函数的增区间为(12，＋∞)，函数的减区间为(0，12)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(理)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)由f(e)＝2得b＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx，从而f′(x)＝alnx.因为a≠0，故：①当a0时，由f′(x)0得x1，由f′(x)0得0x1；走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用②当a0时，由f′(x)0得0x1，由f′(x)0得x1.综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用由函数的单调性求参数的范围(值)(2015·南昌调研)已知函数f(x)＝lnx－ax－1x＋1.若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，求a的取值范围．[思路分析]利用f′(x)≥0恒成立求解．[规范解答]f′(x)＝1x－ax＋1－ax－1x＋12＝x2＋2－2ax＋1xx＋12，走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用∵f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴x2＋(2－2a)x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x∈(0，＋∞)时，由x2＋(2－2a)x＋1≥0得，2a－2≤x＋1x，设g(x)＝x＋1x，x∈(0，＋∞)，∵g(x)≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1时，g(x)有最小值2，∴2a－2≤2，∴a≤2，∴a的取值范围是(－∞，2]．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[方法总结]由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(文)已知f(x)＝ex－ax－1.是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[解析]方法一：由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立．∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．∵y＝ex在(－∞，0]上为增函数．∴当x＝0时，ex最大为1.∴a≥1.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用同理可知ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤ex在[0，＋∞)上恒成立．∴a≤1.综上可知a＝1.方法二：由题意知，x＝0为f(x)的极小值点．∴f′(0)＝0，即e0－a＝0，∴a＝1，验证a＝1符合题意．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(理)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．[解析]对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用结合①，可知x(－∞，12)12(12，32)32(32，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值