北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-阶段性测试题3

阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4＋2[答案]B[解析]用f(1)＝－1验证即可．2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度关系是()A．甲大B．乙大C．相等D．无法比较[答案]B[解析]v1＝s1′＝3t2－4t＋1，v2＝s2′＝6t－1，所以在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．3．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为()A．ln2B．－ln2C．ln22D．－ln22[答案]A[解析]易知f′(x)＝ex－a·e－x，因为f′(x)是奇函数，所以f′(0)＝1－a＝0，即a＝1，所以f′(x)＝ex－e－x＝32，解得x＝ln2，所以切点的横坐标为ln2.4．(文)已知函数f(x)在x＝1处的导数为－12，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝12x2－lnxB．f(x)＝xexC．f(x)＝sinxD．f(x)＝1x＋x[答案]D[解析]本题考查导数的运算，据导数的运算公式知只有D符合题意．(理)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．－eB．－1C．1D．e[答案]B[解析]由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.5．(文)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)0B．f′(x0)0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在[答案]B[解析]由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，故f′(x0)＝3.故选B．(理)已知t0，若0t(2x－2)dx＝8，则t＝()A．1B．－2C．－2或4D．4[答案]D[解析]由0t(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)|t0＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)，选D．6．已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为()A．f(－a2)≤f(－1)B．f(－a2)f(－1)C．f(－a2)≥f(－1)D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定[答案]A[解析]由题意可得f′(x)＝32x2－2x－72，令f′(x)＝12(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝73.当x－1时，f(x)为增函数；当－1x73时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a2≤0，所以f(－a)2≤f(－1)．7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f′(x)0，且f(0)＝0，f(－12)＝0，则不等式f(x)0的解集为()A．{x|x12}B．{x|0x12}C．{x|x－12或0x12}D．{x|－12≤x≤0或x≥12}[答案]C[解析]根据图像得不等式f(x)0的解集为{x|x－12或0x12}．8．(文)已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1[答案]A[解析]本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用，要使函数图像与x轴有两个不同的交点，则需要满足极值中一个为零即可，因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求．而f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＝±1时取得极值，由f(1)＝0或f(－1)＝0可得c－2＝0或c＋2＝0，即c＝±2.(理)(2014·湖北高考)若函数f(x)，g(x)满足1－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]本题考查定积分的运算，函数的新定义．由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1,1]上的正交函数，即需满足－11f(x)g(x)dx＝0.①－11f(x)g(x)dx＝－11sin12xcos12xdx＝12－11sinxdx＝(－12cosx)|1－1＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；②－11f(x)g(x)dx＝－11(x＋1)(x－1)dx＝(x33－x)|1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；③－11f(x)g(x)dx＝－11x·x2dx＝x44|1－1＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是2.9．已知f(x)＝alnx＋12x2(a0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有fx1－fx2x1－x2≥2恒成立，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0,1][答案]A[解析]由于fx1－fx2x1－x2＝k≥2恒成立，所以f′(x)≥2恒成立．又f′(x)＝ax＋x，故ax＋x≥2，又x0，所以a≥－x2＋2x，而g(x)＝－x2＋2x在(0，＋∞)上最大值为1，所以a≥1.故选A．10．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是()①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋1xA．2B．3C．4D．5[答案]B[解析]①中的函数f(x)＝x2，f′(x)＝2x，要使f(x)＝f′(x)，则x2＝2x，解得x＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则e－x＝－e－x，由对任意的x，有e－x0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则lnx＝1x，由函数f(x)＝lnx与y＝1x的图像它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则tanx＝1cos2x，即sinxcosx＝1，显然无解，原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则x＋1x＝1－1x2，即x3－x2＋x＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，g′(x)＝3x2－2x＋10且g(－1)0，g(0)0，显然函数g(x)在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．曲线f(x)＝x(3lnx＋1)在x＝1处的切线方程为________．[答案]4x－y－3＝0[解析]f′(x)＝3lnx＋1＋x·3x＝3lnx＋4，∴f′(1)＝4，又f(1)＝1，∴曲线f(x)＝x(3lnx＋1)在x＝1处的切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)有极大值5，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的解析式为________．[答案]f(x)＝2x3－9x2＋12x[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋C．由导函数y＝f′(x)的图像可知：当x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0，∴函数f(x)在x＝1时取得极大值5，∴f(1)＝5.又由图像可知，x＝1,2是导函数f′(x)的零点，可得f1＝5，f′1＝0，f′2＝0，即a＋b＋c＝5，3a＋2b＋c＝0，12a＋4b＋c＝0.解得a＝2，b＝－9，c＝12.∴所求函数的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.13．已知函数f(x)＝alnx＋(x＋1)2在x＝1处有极值，则函数f(x)的单调递减区间为________．[答案](0,1)[解析]f′(x)＝ax＋2(x＋1)．∵函数f(x)在x＝1处有极值，∴f′(x)＝a＋4＝0，a＝－4，∴f(x)＝－4lnx＋(x＋1)2，f′(1)＝－4x＋2(x＋1)＝2x＋2x－1x(x0)，∴函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．14．已知函数f(x)＝lnx－a，若f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．[答案][－1，＋∞)[解析]∵函数f(x)＝lnx－a，且f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)＝lnx－ax2在(1，＋∞)上恒成立，∴alnx－x2，令h(x)＝lnx－x2，有h′(x)＝1x－2x，∵x1，∴1x－2x0，∴h(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴当x∈(1，＋∞)时，h(x)h(1)＝－1，∴a≥－1.15．(文)在区间[－a，a](a0)内图像不间断的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)0，又当0xa时，有f′(x)＋f(x)0，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________．[答案]2[解析]∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝ex·f(x)，∴g′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]0，∴g(x)在[0，a]上为单调增函数，又∵g(0)·g(a)0，∴函数g(x)＝ex·f(x)在[0，a]上只有一个零点，又∵ex≠0，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点，∵f(x)是偶函数，且f(0)≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且仅有两个零点．(理)函数y＝cos3x＋sin2x－cosx的最大值________．[答案]3227[解析]∵y＝cos3x＋sin2x－cosx＝cos3x＋(1－cos2x)－cosx＝cos3x－cos2x－cosx＋1，令t＝cosx，则－1≤t≤1，则y＝t3－t2－t＋1，则y′＝3t2－2t－1＝(3t＋1)(t－1)，令y′＝0，解得t＝－13或t＝1，列表如下：x[－1，－13)－13(－13，1]y′＋0－y增极大值3227减故函数y＝t3－t2－t＋1在x＝－13取得极大值，亦即最大值，即ymax＝3227.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝x3－3x＋1.试判断函数f(x)的单调性．[解析]因为f(x)＝x3－3x＋1，所以f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．由f′(x)0，解得x∈(－1,1)；由f′(x)0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)．所以f(x)在[－1,1]上单调递减，在(－∞，－1]，[1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调减区间是[－1,1]，单调增区间是(－∞，－1]与[1，＋∞)．(理)设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b，f(1)＝1－3a＋3b＝－11，①f′(1)＝3－6a＋3b＝－12.②解由①、②组成的关于a，