您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第1节
第三章第一节一、选择题1.曲线y=x3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为()A.(-1,1)B.(-1,-1)C.(1,1)或(-1,-1)D.(1,-1)[答案]C[解析]y′=3x2,∴3x2=3.∴x=±1.当x=1时,y=1,当x=-1时,y=-1.2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0[答案]B[解析]∵f′(x)=4ax3+2bx为奇函数,∴f′(-1)=-f′(1)=-2.3.(文)(2014·黄石模拟)已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=()A.e2B.eC.ln22D.ln2[答案]B[解析]f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由f′(x0)=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.(理)若函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点在第二象限,则函数f′(x)的图像是()[答案]C[解析]由题意可知-b2,4c-b24在第二象限⇒-b204c-b240⇒b0,又f′(x)=2x+b,故选C.4.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f′(x)=g′(x),则f(x)与g(x)满足()A.f(x)=g(x)B.f(x)=g(x)=0C.f(x)-g(x)为常数函数D.f(x)+g(x)为常数函数[答案]C[解析]由f′(x)=g′(x),得f′(x)-g′(x)=0,即[f(x)-g(x)]′=0,所以f(x)-g(x)=C(C为常数).5.(文)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)等于()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx[答案]D[解析]∵fn(x)=fn+4(x),∴f2015(x)=f3(x)=-cosx.(理)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f′(0)=()A.26B.29C.212D.215[答案]C[解析]∵{an}是等比数列,且a1=2,a8=4,∴a1·a2·a3·…·a8=(a1·a8)4=84=212.∵f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),∴f′(0)等于f(x)中x的一次项的系数.∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a8=212.6.(文)已知点P在曲线f(x)=x4-x上,曲线在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为()A.(0,0)B.(1,1)C.(0,1)D.(1,0)[答案]D[解析]由题意知,函数f(x)=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f′(x0)=4x30-1=3,∴x0=1,将其代入f(x)中可得P(1,0).(理)若函数f(x)=exsinx,则此函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为()A.π2B.0C.钝角D.锐角[答案]C[解析]f′(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)=2exsin(x+π4).f′(4)=2e4sin(4+π4)<0,则此函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为钝角,故选C.二、填空题7.(文)已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值为________.[答案]103[解析]f′(x)=3ax2+6x,又∵f′(-1)=3a-6=4,∴a=103.(理)若函数f(x)=13x3-f′(-1)·x2+x+5,则f′(1)=________.[答案]6[解析]∵f(x)=13x3-f′(-1)x2+x+5,∴f′(x)=x2-2f′(-1)x+1,∴f′(-1)=(-1)2-2f′(-1)(-1)+1,解得f′(-1)=-2.∴f′(x)=x2+4x+1,∴f′(1)=6.8.(文)(2014·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为________.[答案]5x+y+2=0[解析]本题考查导数的几何意义及直线方程.∵y′=-5ex,∴y′|x=0=-5,∴k=-5,∴切线方程y=-5x-2.(理)(2014·广东高考)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.[答案]y=-5x+3[解析]本题考查导数的几何意义及直线方程求法.∵y=e-5x+2,∴y′=-5e-5x|x=0=-5.∴k=-5,又过点(0,3),∴切线方程y-3=-5x,∴y=-5x+3.9.(文)函数f(x)=lnxx在点(x0,f(x0))处的切线平行于x轴,则f(x0)=________.[答案]1e[解析]∵f(x)=lnxx,f′(x)=1-lnxx2,切线斜率f′(x0)=1-lnx0x20=0,∴x0=e,∴f(x0)=f(e)=1e.(理)(2013·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)=________.[答案]2[解析]∵f(ex)=x+ex,∴f(x)=x+lnx,f′(x)=1+1x,∴f′(1)=1+1=2.三、解答题10.已知曲线y=13x3+43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.[分析](1)在点P处的切线以点P为切点.(2)过点P的切线,点P不一定是切点,需要设出切点坐标.[解析](1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=13x3+43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0,13x30+43,则切线的斜率k=y′|x=x0=x20.∴切线方程为y-13x30+43=x20(x-x0),即y=x20·x-23x30+43.∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x20-23x30+43,即x30-3x20+4=0.∴x30+x20-4x20+4=0.∴x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0.∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.一、选择题1.(文)若曲线y=x-12在点(a,a-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=()A.64B.32C.16D.8[答案]A[解析]求导得y′=-12x-32(x0),所以曲线y=x-12在点(a,a-12)处的切线l的斜率k=y′|x=a=-12a-32,由点斜式,得切线l的方程为y-a-12=-12a-32(x-a),易求得直线l与x轴,y轴的截距分别为3a,32a-12,所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S=12×3a×32a-12=94a12=18,解得a=64.(理)设函数f(x)=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈0,5π12,则导数f′(1)的取值范围为()A.[-2,2]B.[2,3]C.[3,2]D.[2,2][答案]D[解析]∵f′(x)=sinθ·x2+3cosθ·x,∴f′(1)=sinθ+3cosθ=2sinθ+π3.∵θ∈0,5π12,∴θ+π3∈π3,3π4.∴sinθ+π3∈22,1,∴f′(1)∈[2,2],故选D.2.(文)(2015·南昌质检)若函数f(x)=excosx,则此函数图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为()A.0B.锐角C.直角D.钝角[答案]D[解析]由已知得:f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx).∴f′(1)=e(cos1-sin1).∵π21π4.而由正、余弦函数性质可得cos1sin1.∴f′(1)0.即f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率k0.∴切线的倾斜角是钝角.(理)(2015·哈师大附中高三月考)已知函数f(x)=xn+1(n∈N*)的图像与直线x=1交于点P,若曲线f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为()A.1-log20152014B.-1C.-log20152014D.1[答案]B[解析]因为函数f(x)=xn+1(n∈N*)的图像与直线x=1交于点P,所以P(1,1).因为f(x)=xn+1,所以f′(x)=(n+1)xn,则f′(1)=n+1,即切线的斜率为n+1,故曲线f(x)在P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x=nn+1,即该切线与x轴的交点的横坐标为xn=nn+1,所以log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015(12×23×34×…×20142015)=log201512015=-1.二、填空题3.(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.[答案]-3[解析]本题考查导数的几何意义.曲线y=ax2+bx过点P(2,-5),则4a+b2=-5①又y′=2ax-bx2,所以4a-b4=-72②由①②解得a=-1,b=-2.所以a+b=-3.4.(文)若函数f(x)=13x3-f′(-1)·x2+x+5,则f′(1)=________.[答案]6[解析]∵f(x)=13x3-f′(-1)·x2+x+5,∴f′(x)=x2-2f′(-1)·x+1,将x=-1代入上式得f′(-1)=1+2f′(-1)+1,∴f′(-1)=-2,再令x=1,得f′(1)=6.(理)点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则P到直线y=x-2的距离的最小值是________.[答案]2[解析]作直线y=x-2的平行线使其与曲线y=x2-lnx相切,则切点到直线y=x-2的距离最小.由y′=2x-1x=1,得x=1,或x=-12(舍去).∴切点为(1,1),它到直线x-y-2=0的距离为d=|1-1-2|12+-12=22=2.三、解答题5.(文)求下列函数的导数(1)y=sinxcosx(2)y=x2ex(3)y=(x+1)(1x-1)(4)y=sinx2(1-2cos2x4)[解析](1)y′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cosxcosx-sinxsinx=cos2x.(2)y′=(x2)′ex+x2(ex)′=2x·ex+x2·ex=(x2+2x)ex.(3)∵y=1-x+1x-1=-x12+x-12∴y′=-12x-12-12x-32=-12x-12(1+x-1)=-12x(1+1x).(4)∵y=sinx2(-cosx2)=-12sinx∴y′=(-12sinx)′=-12cosx.(理)求下列函数的导数:(1)y=ex·lnx(2)y=x(x2+1x+1x3)(3)y=sin2(2x+π3)(4)y=ln(2x+5).[解析](1)y′=(ex·lnx)′=exlnx+ex·1x=ex(lnx+1x).(2)∵y=x3+1+1x2,∴y′=3x2-2x3.(3)设y=u2,u=sinv,v=2x+π3,则y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2=4sin(2x+π3)·cos(2x+π3)=2sin(4x+2π3).(4)设y=lnu,u=2x+5,则y′x=y′u·u′x,∴y′=12x+5·(2x+5)′=22x+5.6.(文)已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.[解析](1)由f(x)=x3-3x得f′(x)=3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f′(1)=0,∴所求的直线方程为y
本文标题:北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第1节
链接地址:https://www.777doc.com/doc-7506900 .html