北师版高中数学必修一第6讲：函数的奇偶性（学生版）

1函数的奇偶性____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、理解函数的奇偶性及其图像特征；2、能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义1、图形描述：函数fx的图像关于y轴对称fx为偶函数；函数fx的图像关于原点轴对称fx为奇函数定量描述一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，则称fx为偶函数；如果都有--fxfx，则称fx为奇函数；如果()()fxfx与--fxfx同时成立，那么函数fx既是奇函数又是偶函数；如果()()fxfx与--fxfx都不能成立，那么函数fx既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。如果函数fx是奇函数或偶函数，则称函数()yfx具有奇偶性。特别提醒：1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断fxfx与fxfx这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。二、函数具有奇偶性的几个结论1、yfx是偶函数yfx的图像关于y轴对称；yfx是奇函数yfx的图像关于原点对称。2、奇函数fx在0x有定义，必有00f。3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称2的两个区间上单调性相同。4、,fxgx是定义域为12,DD且12DD要关于原点对称，那么就有以下结论：奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。6、多项整式函数110()nnnnPxaxaxa的奇偶性多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项的系数和常数项全为零；多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项的系数全为零。类型一函数奇偶性的判断例1：判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝2x4＋3x2；(2)f(x)＝1x＋x；练习1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()A．y＝x＋1B．y＝－x2C．y＝1xD．y＝x|x|类型二分段函数奇偶性的判定例2：用定义判断函数f(x)＝－x2＋xx2－x的奇偶性．练习1：判断函数f(x)＝x2＋2x0x＝－x2－x的奇偶性．练习2：如果F(x)＝2x－3xfxx是奇函数，则f(x)＝________.的单调性类型三利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式例3：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式．3练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x＋1，则函数f(x)的解析式为________________．练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，则当x0时，f(x)的表达式为()A．f(x)＝x＋1B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1D．f(x)＝－x－1类型四抽象函数奇偶性的证明例4：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．练习1：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数．2：已知()fx是定义在R上的任意一个增函数，Gxfxfx，则Gx必定为（）A、增函数且为奇函数B、增函数且为偶函数C、减函数且为奇函数D、减函数且为偶函数类型五含有参数的函数的奇偶性的判断例5：设a为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1的奇偶性．练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f(x)＝x2＋ax，常数a∈R，讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．练习2：(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax＋bx(其中a、b为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，52)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的奇偶性．类型六利用奇偶性确定函数中字母的值例6:已知函数f(x)＝ax2＋23x＋b是奇函数，且f(2)＝53.求实数a、b的值；练习1:(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝x＋b1＋x2为奇函数.求b的值；4练习2:若函数(0)ykxbk是奇函数，则b；若函数2(0)yaxbxca为偶函数，则b。类型七：利用奇偶性解不等式例7：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取值范围．练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x≥0时单调递减，设f(1－m)f(m)，求m的取值范围．练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f(2x－1)f(13)的x的取值范围是()A．13，23B．13，23C．12，23D．12，23类型八利用奇偶性求函数值例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．练习1：已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝()A．－15B．－13C．－5D．5练习2:(2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于()A．0B．1C．52D．51、判断下列函数的奇偶性：（1）11fxxx；（2）111xfxxx；OyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyx52、已知函数()fx是奇函数，定义域为0xxRx且，又()fx在0,上为增函数，且10f，则满足0fx的x的取值范围是。3、若2)(24bxaxxf，且5)(cf，求)(cf的值；4、已知()fx是R上的奇函数，且当0x时，3()(1)fxxx，求()fx的解析式。5、已知2111xafxxxbx奇函数，求,ab的值。__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝()A．3B．－3C．2D．72．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．43．若二次函数f(x)＝x2＋(b－2)x在区间[1－3a,2a]上是偶函数，则a、b的值是()A．2,1B．1,2C．0,2D．0,14．(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．35．(2014·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()6A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是()A．f(x)＝－x(x－2)B．f(x)＝x(|x|－2)C．f(x)＝|x|(x－2)D．f(x)＝|x|(|x|－2)7．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝______.能力提升8．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)______f(a2＋4)(a∈R)．(填：、、≥、≤)9．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x)．课程顾问签字：教学主管签字：