北师版高中数学必修一第2讲：集合的关系与运算（教师版）

1集合的关系与运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。2、了解空集的含义与性质。3、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。4、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。一、子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何．．一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合B。记作:ABBA或，读作：A包含于B或B包含A。特别提醒：1、“A是B的子集”的含义是：集合A的任何．．一个元素都是集合B的元素，即由xA，能推出xB。如：1,11,0,1,2；深圳人中国人。2、当“A不是B的子集”时，我们记作：“ABBA或”，读作：“A不包含于B，（或B不包含A）”。如：1,2,31,3,4,5。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A，它的任何一个元素都属于集合A本身，记作AA。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有A。5、在子集的定义中，不能理解为子集A是集合B中部分元素组成的集合。因为若A，则A中不含有任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集。二、集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何．．一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何．．一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证AB，只需证AB与BA都成立即可。三、真子集：对于两个集合A与B，如果BA，并且BA，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA,读作A真包含于B或B真包含A奎屯王新敞新疆2特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC。3、两个集合A、B之间的关系：ABABBAABABABABAB且四、并集：1、并集的概念：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集。记作：AB，读作：A并B。符号语言表达式为：ABxxAxB，或。韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。特别提醒：（1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相排斥的。“xAxB，或”这一条件包含下列三种情况：xAxB，但；xBxA，但；xAxB，且。（2）对于ABxxAxB，或，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，因为A与B可能有公共元素，所以上述看法，从集合元素的互异性看是错误的。2、并集的性质：（1）,ABAABB；（2）AAA；（3）AA；（4）ABBA。3、讨论两集合在各种关系下的并集情况：（1）若AB，则ABB，如图①；（2）若BA，则ABA，如图②；①②③（3）若AB，则ABA（ABB），如图③；（4）若A与B相交，则AB图④中的阴影部分；（5）若A与B相离，则AB图⑤中的阴影部分。④⑤五、交集：1、交集的概念：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集。记作：AB；读作：A交B。符号语言表达式为：ABxxAxB，且韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．特别提醒：对于ABxxAxB，且，是指AB中的任一元素都是A与B的公共元素，同时这些公共元素都属于AB。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合A与集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB。2、交集的运算性质：（1）,ABAABB；（2）AAA；（3）A；（4）ABBA。33、讨论两集合在各种关系下的交集情况：（1）若AB，则ABA，如图①；（2）若BA，则ABB，如图②；①②③（3）若AB，则ABA（ABB），如图③；（4）若A与B相交，则AB图④中的阴影部分；（5）若A与B相离，则AB，如图⑤。④⑤六：全集与补集：1、全集的概念：如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。2、补集的概念：一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即AU），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。记作：∁UA；读作：A在U中的补集；符号语言表达式为：∁UA,xxUxA且；韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：类型一子集、真子集的概念例1：已知集合M满足{1,2}⊆M{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.解析：由条件知，集合M中一定有元素1,2，可能含有3,4,5中的部分数．故满足条件的集合M可以是：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}答案：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}练习1：写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P.答案：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．练习2：(2014～2015学年度重庆一中高一上学期期中测试)以下表示正确的是()A．∅＝0B．∅＝{0}C．∅∈{0}D．∅⊆{0}答案：D类型二集合相等关系的应用例2：已知集合{x2，x＋y,0}＝{x，yx，1}，求x2015＋y2015的值为________．解析：由题意知，0∈{x，yx，1}，又∵x≠0，∴y＝0.∴集合{x2，x＋y,0}＝{x2，x,0}．又1∈{x2，x,0}，且x≠1，∴x2＝1，∴x＝－1.故x2015＋y2015＝(－1)2015＋02015＝－1.答案：-1练习1：已知集合A＝{2，a，b}，集合B＝{2a,2，b2}，若A＝B，求a、b的值．4答案：a＝0b＝1或a＝14b＝12.练习2：将下列两集合相等的组的序号填在横线上。①2,,21,PxxnnZQxxnnZ；②21,,21,PxxnnNQxxnnN③2110,,2nPxxxQxxnZ答案：①③类型三由集合关系求参数取值范围例3：已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1xm＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．解析：(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1.解得m≥2，这时B⊆A．(2)当B≠∅时，由B⊆A得－3≤2m－1m＋1≤42m－1m＋1，解得－1≤m2.综上得m≥－1.答案：m≥－1.练习1：若{x|2x－a＝0}{x|－1x3}，则实数a的取值范围是________．答案：{a|－2a6}练习2：(2014～2015学年河南洛阳市高一上学期期中测试)设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．答案：a≤－1或a＝1.类型四交集的概念例4：设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝()A．{－2}B．{2}C．{－2,2}D．∅解析：∵A＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．答案：A练习1：(2015·广东理)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝()A．{1,4}B．{－1，－4}C．{0}D．∅答案：D练习2：(2015·广东文)若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝()A．{0，－1}B．{0}C．{1}D．{－1,1}答案：C类型五并集的概念例5：集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4解析：∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，5∴a2＝16a＝4①或a2＝4a＝16②，由①得a＝4，②无解．综上，得a＝4.答案：D练习1：(2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)若集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{1,2,4}，则A∪B＝()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}答案：A练习2：(2014～2015学年度广东珠海斗门一中高一上学期期中测试)已知集合M＝{－1,1,2}，N＝{1,4}，则M∪N＝()A．{1}B．{1,4}C．{－1,1,2,4}D．∅答案：C类型六补集的运算例6：设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，则a的值为__________．解析：因为∁UA＝{5}，且A∪∁UA＝{2，|2a－1|,5}＝U＝{2,3，a2＋2a－3}，∴a2＋2a－3＝5①|2a－1|＝3②，解①得a＝2或a＝－4；解②得a＝2或a＝－1.所以a的值为2.答案：2练习1：(2014～2015学年度山西朔州一中高一上学期期中测试)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,6}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)等于()A．{2,4,6}B．{1,3,5}C．{2,4,5}D．{2,5}答案：A练习2：(2014·湖北文，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝()A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}C．{2,4,7}D．{2,5,7}答案：C类型七应用Venn图进行集合间的交、并、补运算例7：全集U＝{不大于15的正奇数}，M∩N＝{5,15}，∁U(M∪N)＝{3,13}，(∁UM)∩N＝{9,11}，求M.解析：答案：{1,5，7，15}练习1：已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝()A．MB．NC．ID．∅答案：A练习2：(2015·湖南文，11)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝________.答案：{1,2,3}61.(2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)下列集合中，只有一个子集的集合是()A．{x|x＋3＝3}B．{(x，y)|y2＝－x2，x、y∈R}C．{x|x2≤0}D．{x|x2－x＋1＝0}答案：D2.已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝()A．1B．0C．－2D．－3答案：C3.(2014～2015学年度北京市丰台二中高一上学期期中测试)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0}B．{0,1}C．{0,2}D．{0,1,2}答案：C4.(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．4B．3C．2D．1答案：C5．(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)如果U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,5}，那么(∁UM)∩N＝()A．∅B．{1,3}C．{1}D．{5}答案：D_