数学竞赛辅导托勒密定理一

托勒密定理Ptolemy(约公元85年~165年)，希腊数大天文学家，他的主要着作《天文集》被后人称为“伟大的数学书”。托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和。已知：四边形ABCD内接于圆，如图，求证：AB·CD+BC·AD=AC·BD证明：在∠BAD内作∠BAE=∠CAD，交BD于E。因∠ABE=∠ACD，所以△ABE∽△ACD，从而AB·CD=AC·BE①；易证△ADE∽△ACB，所以BC·AD=AC·DE②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD。托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。已知四边形ABCD满足AB·CD+BC·AD=AC·BD，求证：A、B、C、D四点共圆。证明：构造相似三角形，即取点E，使∠BCE=∠ACD，且∠CBE=∠CAD，则△CBE∽△CAD。所以BC·AD=AC·BE①；又CDCACECB，∠BCA=∠ECD，所以△BCA∽△ECD。AB·CD=AC·DE②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·（BE+DE）。显然有BE+DE≥DB。于是AB·CD+BC·AD≥AC·DB。等号当且仅当E在BD上成立，结合已知条件得到此时等号成立，这时∠CBD=∠CAD，即A、B、C、D四点共圆。托勒密定理的推广托罗密不等式在四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD.并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。推论1（三弦定理）如果A是圆上任意一点，AB，AC，AD是该圆上顺次的三条弦，则sinsinsinACBADABCADADCAB推论2（四角定理）四边形ABCD内接于O，则直线上的托勒密定理（或欧拉定理）若A，B，C，D为一直线上依次排序的四点，则ABCDBCADACBD一、直接应用托勒密定理例1如图，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)，求证：PA=PB＋PC．分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．EBCDAADCBE二、完善图形借助托勒密定理例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．②把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∴BD=CD．故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．三、构造图形借助托勒密定理例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，ACDBDC∴∠ABD=∠BAC．又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．②∴∠BAC=2∠ABC．五、巧变形妙引线借肋托勒密定理例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，作业1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。2.证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数．3.若a≥b≥c＞0，且a＜b+c，解方程axbxccxb2222。4.如图，圆O外接于正方形ABCD，P为弧AD上的任意一点，OBACDP求证PBPCPA为定值。