必修-第一册三角函数及三角恒等变换知识点归纳

1三角函数及三角恒等变换知识点小结一、常用四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．（cossin、cossin、cossin三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ=sin2＝tanπ4（4）齐次式化切法：已知ktan，则nmkbaknmbanmbatantancossincossin二、三角函数的图像与性质（一）知识要点梳理1、正弦、余弦、正切函数的图像和性质sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在在2,2kkk上是增函数；在2,2kk在,22kkk上是增函数．232,222kkk上是减函数．k上是减函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴2、研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x。函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。（1）定义域：R（2）值域：[-A,A]（3）周期性：2||T①()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T。②()tan()fxAx的最小正周期都是||T。（4）单调性：函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的单调增区间可由2k－2≤x＋≤2k＋2，k∈z解得；单调减区间可由2k＋2≤x＋≤2k＋32，k∈z解得。在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如函数23ysin(x)的递减区间是______三、函数sinyAx的图像和三角函数模型的简单应用一、知识要点1、几个物理量：①振幅：；②周期：2；③频率：12f；④相位：x；⑤初相：．2、函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx．3、函数sin()yAx图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，33,,,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数y＝sinx的图象经变换可得到sinyAx0＞的图象1)xysin)sin(yx个单位向左（右）平移倍长（或缩短）为原来的纵坐标不变，横坐标伸1)sin(xy倍长（或缩短）为原来的横坐标不变，纵坐标伸AsinyAx2)xysin倍长（或缩短）为原来的纵坐标不变，横坐标伸1xysin)sin(yx个单位向左（右）平移倍长（或缩短）为原来的横坐标不变，纵坐标伸AsinyAx要特别注意，若由sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移||个单位，如要得到函数y＝sin(2x－π3)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()(A)向左平移π3个单位(B)向右平移π3个单位(C)向左平移π6个单位(D)向右平移π6个单位四、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．如oooo40tan20tan340tan20tan；（答案：3）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．222)cos(sincossin2cossin2sin1如cos25π12＋cos2π12＋cos5π12cosπ12的值等于；（答案：54）⑵2222cos2cossin2cos112sin升幂公式221cos22cos,1cos22sin4降幂公式21cos2cos2，21cos2sin2．⑶22tantan21tan．3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：22sincossinabab，其中tanba．4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；②1545306045ooooo；问：12sin；12cos；③)(；④)4(24；⑤)4()4()()(2；等等.如[1]21tan,tan,tan5444则.（答案：322）[2]若cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，且π2＜α－β＜π，3π2＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.（答案：－725，－1）[3]已知sincos21,tan,1cos23则tan2；（答案：18）（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一）。如)10tan31(50sinoo；（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：221sincossin90tan45oo