概率论中几种概率模型方法总结

概率论中几种概率模型方法总结绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。1古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。若设Ω是一个古典概型样本空间,则对任意事件A有:AmP(A)==Qn中的样本点数中的样本点数。在计算m和n时,经常使用排列与组合计算公式。在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。关于古典概型的数学模型如下:1.1袋中取球问题1.1.1随机地同时从袋中取若干球问题随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。事件1一袋中有m+n个球,其中m个黑球,n个白球,现随机地从袋中取出k个球(k≤m+n),求其中恰好有l个白球(l≤n)的概率。分析:随机地从袋中取出k个球有km+nC种可能的结果,其中“恰好有l个白球”这一事件包含了lk-lnmCC种结果,因此所求概率为lk-lnmkm+nCCP=C这个结论可以作为一个公式来应用。用它可以解决一些类似的问题。1.1.2随机地从袋中不放回地取球若干次随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序取的,所考虑的事件也会涉及到取球的顺序,所以要用排列数计算样本点数。事件2一袋中装有m+n个球,其中m个黑球,n个白球,现随机地从中每次取出一个球(不放回),求下列事件的概率:(1)第i次取到的是白球;(2)第i次才取到白球;(3)前i次中能取到白球;(4)前i次中恰好取到l个白球(l≤i≤m+n,l≤n);(5)到第i次为止才取到l个白球(l≤i≤m+n,l≤n)。分析:(1)“第i次取到的是白球”可以理解为“取球进行了i次,第i次取出白球”。从m+n个球中不放回地取球i次,即是从m+n个球中不放回地取出i个球,一共有im+nP种不同的取法;其中“第i次取到的是白球”有i-11m+n-1nPC种取法。因此所求概率为:i-11m+n-1n1im+nPCP=P,根据排列数公式计算得1nP=m+n。这个问题可以看成是抽签问题的数学模型,其结果表明:抽到好签的机会(概率)与抽签的顺序无关,即抽签具有公平性。(2)“第i次才取到白球”可以理解为“取球进行了i次,前i-1次取出的都是黑球,第i次取出的是白球”,根据乘法原理可知应有i-11mnPC种取法;同(1)可得从m+n个球中不放回地取球i次一共有im+nP种不同的取法,故有i-11i-1mnm2iim+nm+nPCnPP==PP。(3)“前i次中能取到白球”包含的情况比较复杂,因此先找它的对立事件“前i次取出的都是黑球”的概率。“前i次取出的都是黑球”的概率是:iimmiim+nm+nPCP==PC,所以前i次中能取到白球的概率是im3im+nCP=1-C。(4)“前i次中恰好取到l个白球”意味着“取出的i个球中有l个白球,i-l个黑球”,根据乘法原理可知应有i-llimniCCP种取法,所以i-llii-llmbimn4iim+nm+nCCPCCP==PC。(5)“到第i次为止才取到l个白球”等价于“前i-1次中恰好取到l-1个白球且第i次取到白球”。故i-ll-1i-11i-ll-1mni-1n-l+1mn5iim+nm+nCCPCCC(n-l+1)P==PiC。由此可见如果能深刻理解事件2这种数学模型,那么古典概型中的一些概率计算问题就可以归结为随机地从袋中不放回地取球若干次求某事件的概率问题。1.1.3随机地从袋中有放回地取球若干次随机地从袋中有放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后依然放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上也是按顺序取的,而且每个球都有被重复取出的可能,所考虑的事件依然会涉及到取球的顺序,所以要用重复排列数计算样本点数。事件3一袋中装有m+n个球,其中m个黑球,n个白球,现随机地从中每次取出一个球,取后放回,求下列事件的概率:(1)第i次取到的是白球;(2)第i次才取到白球;(3)前i次中能取到白球;(4)前i次中恰好取到l个白球(l≤i≤m+n,l≤n);(5)到第i次为止才取到l个白球(l≤i≤m+n,l≤n)。分析:因为每一个问题仅仅涉及了i次取球,所以只考虑取球i次的情形。根据题中的取球要求可知每次取球都是从m+n个球中取出1个共取了i次,据此应该i(m+n)种不同的取球方式。(1)“第i次取到的是白球”意味着“前i-1次每次都是从m+n个球中取出1个球(白球或黑球),然后第i次是从n个白球中取出1个白球”,根据乘法原理得“第i次取到的是白球”应有i-11n(m+n)C种取法。因此所求概率是i-11n1i(m+n)CnP==(m+n)m+n。(2)“第i次才取到白球”表示“前i-1次每次都是从m个黑球中取出1个黑球,然后第i次是从n个白球中取出1个白球”,一共有i-1mn种取法。故事件“第i次才取到白球”的概率是i-12imnP=(m+n)。(3)“前i次中能取到白球”的对立事件是“前i次取出的都是黑球”,而“前i次取出的都是黑球”是指“前i次每次都是从m个黑球中取出1个黑球”,有im种取法。所以“前i次中能取到白球”的概率是i3imP=1-(m+n)。(4)“前i次中恰好取到l个白球”表明“取出的i个球中有l个白球,i-l个黑球”,其中l个白球中的任意一个可以是i次取球中的任意一次取出的,同时也是每次从n个白球中取出一个;欲得到i-l个黑球须每次从m个黑球中取出一个,取i-l次。根据乘法原理可知“前i次中恰好取到l个白球”应有lli-1iCnm种取法,因此它的概率为lii-li4iCnmP=(m+n)。(5)“到第i次为止才取到l个白球”意味着“前i-1次中恰好取到l-1个白球且第i次取到的是白球”,由(4)可知前i-1次中恰好取到l-1个白球应有l-1l-1i-li-lCnm种取法;又因第i次取到的是白球有n种取法,由乘法原理得“到第i次为止才取到l个白球”应有l-1l-1i-ll-1li-li-li-lCnmn=Cnm种取法,从而所求概率是l-1li-li-l5iCnmP=(m+n)。1.2排序问题排序就是指把一些对象按照一定的顺序排成一列或一圈。如果在排序的前提条件下计算某事件的概率,那么就要用排列数来计算样本点数。事件4将标号为1,2,⋯,n的n个球随意地排成一行。求下列事件的概率:(1)标号是递增或递减的序列;(2)第1号球排在最左或最右;(3)第1号球与第2号球相邻;(4)第1号球在第2号球右边(但不一定相邻);(5)第1号球与第2号球之间恰有r个球(rn-1)[2]。分析:将标号为1,2,⋯,n的n个球随意地排成一行有n!种不同的排法。(1)标号是递增或递减的序列只能是排成1,2,⋯,n或n,n-1,⋯,2,1这两种形式,因此所求概率为2n!。(2)先排1号球,再排其它球。1号球排在最左或最右只有两种排法,其它的n-1个球有(n-1)!种排法,根据乘法原理满足条件的排列有2(n-1)!个,所以所求概率为2(n-1)!2=n!n。(3)先把1号球和2号球看成一个整体与其它球进行排列,即n-1个球排成一列应有(n-1)!种排法;再排1号球和2号球,有2!种排法。由乘法原理可知满足条件的排列有2!(n-1)!个,所以所求概率为2!(n-1)!2=n!n。(4)对于每一种“1号球在2号球右边”的排法而言,如果对调1、2号球的位置就会得到一种“1号球在2号球左边”的排法,反之亦然。即“1号球在2号球右边”与“1号球在2号球左边”的排法总数相等,所以所求概率为12。(5)先排1号球和2号球,有2种排法;因为1号球与2号球之间恰好有r个球,而且这r个球是剩下的n-2个球中任意r个,所以再从n-2个球中任意选出r个进行排列(排列时满足条件它们正好在1号球与2号球之间)有rn-2Cr!种不同的排法;最后把1号球、2号球以及选出的r个球看成一个整体与其它球进行排列有(n-2-r+1)!种排法。根据乘法原理可得“第1号球与第2号球之间恰有r个球”一共有rn-22Cr!(n-2-r+1)!种排法,因此所求概rn-22Cr!(n-2-r+1)!!n率为,亦即2(n-r-1)n(n-1)。1.2.1放球入箱问题放球入箱问题实际上就是古典概型的一个数学模型,其背景是把一些球随意地放入箱子里,要求不同放法也就不同。样本点数的计算既会用到排列数,又会用到组合数。事件5将n个球随意放入N个箱子中,其中每个球可能放入任意一个箱子,求下列事件的概率:(1)指定n的个箱子各放入一球(设N≥n);(2)每个箱子最多放入一球;(3)第i个箱子不空;(4)第i个箱子恰好放入k(k≤n)个球。分析:根据题意可知每个球可能放入任意一个箱子,而且每个箱子均有可能被重复使用。每个球都是放入N个箱子中的任意一个箱子中,应有N种放法。根据乘法原理即得n个球随意放入N个箱子中有nN种放法。(1)“指定的n个箱子各放入一球”相当于“n个球进行全排列”,有n!种不同的排法。所以“指定的n个箱子各放入一球”的概率是nn!N。(2)“每个箱子最多放入一球”意味着“N个箱子中的任意n个箱子各放入一球”,首先从N个箱子中任意选出n个箱子有nNC种不同的选法;最后在选出的n个箱子各放入一球有n!种不同的放法。由乘法原理得“每个箱子最多放入一球”有nNCn!种放法。因此所求概率是nNnCn!N。(3)“第i个箱子不空”说明“第i个箱子至少应放入一个球”,直接计算比较困难,所以先求它的对立事件“第个箱子是空的”的概率。“第i个箱子是空的”表明将n个球随意放入N-1个箱子中,有n(N-1)种放法,其概率为n(N-1)Nn。所以“第i个箱子不空”的概率是nn(N-1)1-N。(4)先从n个球中选出k个球放入第i个箱子中,有knC种不同的选法;再把余下的n-k个球随意地放入其它的箱子中,有n-k(N-1)种放法。根据乘法原理可得第i个箱子恰好放入k个球有kn-knC(N-1)种放法,因此其概率为kn-knnC(N-1)N。综上所述,袋中取球、排序、放球入箱等问题是古典概型的主要数学模型,掌握了它们的分析方法就可以解决具体的古典概型问题。2几何概型几何概型就是将古典概型中的有限样本空间推广到无限样本空间,保留等可能性,因此几何概型也具有以下两个条件:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2.1约会问题两人约定于0到T时在某地相见,先到者等()ttT时后离去,求两人能相见的概率。用,xy分别表示甲,乙两人到约定地点的时刻,由于两人分别在0到T时刻到达是等可能的,故问题可以看作几何概率问题,即看作在平面区域{(,)|0,}xyxyT内均匀投点,如图两人相见这一事件可表示为{(,)|0,||}AxyxyTxyt且222()()()()LAATTtPALT区域的面积区域的面积2.2Buffor(蒲丰)投针问题Buffor(蒲丰)投掷硬币的实验大家都很熟悉。投币实验揭示了频率的稳定性,即统计性规律,1777年作了随机投针实验,投针问题则是一个典型的几何概率问题。平面上画有等距离为a的一些平行线,向此平面任意投一长为(0)lla的针,