森林着火模型

数学模型案例4——森林救火模型森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火.一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？（1）问题分析如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被烧毁的面积大小决定，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关.设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为t=t1，灭火时刻为t=t2，t时刻森林烧毁面积为B（t），则造成损失的被烧毁的森林的面积为B（t2），而是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t的单调非减的函数，即.从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即.开始救火以后，即时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即，并且当t=t2时，.在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度作出合理的假设.（2）模型假设①森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的；②损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系数为c1，即烧毁单位面积的损失费为c1；③从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度与时间t成正比，比例系数为β，称之为火势蔓延速度，即④派出消防队员x名，开始救火以后（），火势蔓延速度降为（线性化），其中可视为每个队员的平均灭火速度，且有，因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延的速度，否则火势将难以控制；⑤每个消防队员单位时间费用为c2（包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为t2-t1，于是每个队员的救火费用为c2(t2-t1)；每个队员的一次性支出为c3(运送队员、器材等一次性支出).对于假设3可作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径r与时间t成正比，又因为烧毁面积B与r2成正比，故B与t2成正比，从而与t成正比.（4）模型建立总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2，森林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失费c1的积，即c1B(t2)；由假设5，救援费为c2x(t2-t1)+c3x，因此，总费用为.由假设3，4，火势蔓延速度在内线性地增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势用b表示，而后，在内，火势蔓延的速度线性地减少（如图2—6），即图2—6与时间t的关系因而有.烧毁面积为恰为图2—6中三角形的面积.由b的定义有，于是所以，其中只有派出的消防队员的人数是未知的.问题归结为如下的最优化问题：（5）模型求解这是一个函数极值问题.令，容易解得.