九年级秋季班-第9讲：圆的基本性质-教师版

1/25圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容．需要掌握点与圆的位置关系，理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系，重点是这四者关系的灵活运用，以及垂径定理及其推论的应用．1、圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作O．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2、点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P在圆外时，dR；当点P在圆上时，d=R；当点P在圆内时，0dR．反之亦然．3、相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．圆的基本性质内容分析知识结构模块一：圆的确定知识精讲2/25ABCDO【例1】在平面直角坐标系内，A（3，tan30），B（2aa，0），A的半径为4，试说明点B与A的位置关系．【难度】★【答案】点B在A外．【解析】由题意得333A，，10B，，所以223733133AB，因为4AB，所以点B在A外．【总结】本题考察了点与圆的位置关系，设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P在圆外时，dR；当点P在圆上时，d=R；当点P在圆内时，0dR．反之亦然．【例2】过一个点可以画______个圆，过两个点可以画______个圆，过三个点可以画______个圆．【难度】★【答案】无数；无数；一或零．【解析】不共线的三点才可以确定一个圆．【总结】本题考察了圆的确定，不共线的三点可以确定一个圆．【例3】已知，如图，在O中，AB、BC为弦，OC交AB于点D．求证：（1）ODBOBD；（2）ODBOBC．【难度】★【答案】详见解析．【解析】（1）∵OAOB，∴OABOBA，∵ODBOABAOD，∴ODBOBAAOD，∴ODBOBD．（2）∵OCOB，∴OBCOCB，∵ODBOCBDBC，∴ODBOBCDBC，∴ODBOBC．【总结】本题考查了圆的性质，利用外角是解决问题的关键．例题解析3/25【例4】如图，O的半径为15，O到直线l的距离OH=9，A、B、C为直线l上的三个点，AH=9，BH=12，CH=15，请分别说明点A、B、C与O的位置关系．【难度】★★【答案】A在O内；B在O上；C在O外．【解析】连接OP，∵15OP，9OH，∴2212PHOPOH，∵9AHHP，∴A在O内；∵12BHHP，∴B在O上；∵12CHHP，∴C在O外．【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【例5】若A（a，27）在以点B（35，27）为圆心，37为半径的圆上，求a的值．【难度】★★【答案】2或72．【解析】∵A点在B上，∴37BA，即2235272737a，解得12a，272a．【总结】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题有两种解．【例6】如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆．【难度】★★【答案】如图所示．【解析】在AB上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心．【总结】本题考查了不共线三点定圆的作法．HOlP4/25【例7】如图，CD是半圆的直径，O是圆心，E是半圆上一点，且45EOD，A是DC延长线上一点，AE与半圆交于B，若AB=OC，求EAD的度数．【难度】★★★【答案】15EAD．【解析】∵ABOC，OCOB，∴ABOB，∴EADBOA，∴2OBEBOAEADEAD，∵OBOE，∴EOBE，∴2OEBEAD，∵345EODOEAEADEAD，∴15EAD．【总结】本题考查了同一个圆中半径处处相等及三角形外角的应用．【例8】已知，如图，AB是O的直径，半径OCAB，过OC的中点D作EF//AB．求证：12ABECBE．【难度】★★★【答案】详见解析．【解析】连接OE，∵OCAB，EF//AB，∴OCEF，OBEDEB，∵OBOE，∴OBEOEB，∴OBEOEBDEB，∵D为OC的中点，∴1122ODOCOE，∴30OED，∴1152ABEOED，∴451530CBECBOABE，∴12ABECBE．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形性质的综合运用．ABCDEOABCDEFO5/25【例9】已知：AB是O的直径，点P是OA上任意一点，点C是O上任意一点．求证：PAPCPB．【难度】★★★【答案】详见解析．【解析】当P与O重合时，可得PAPCPB，当P与O不重合时，连接OC，则OA=OC=OB，∴PAOAOPOCOPPC，PBOPOBOPOCPC，综上可知PAPCPB．【总结】本题考查了圆中半径处处相等，并利用三角形的三边关系解决问题．6/25ABCO1、圆心角、弧、弦、弦心距的概念圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．2、半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A、C为端点的劣弧记作AC，读作“弧AC”；以A、C为端点的优弧记作ABC，读作“弧ABC”．3、等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB与''AB是等弧，记作''ABAB．半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．4、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．模块二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识精讲7/25ABCO【例10】下列命题中真命题的个数是（）①相等的圆心角所对的弧也相等；②在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等；③A、B是O上任意两点，则AO+BO等于O的直径长；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★【答案】A．【解析】①需说明是在同圆或等圆中，故①错误；②一条弦对两条弧，所以需要说明是优弧还是劣弧，故②错误；③易知AO、BO均为圆的半径，所以AOBO为直径，故③正确；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故④错误．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【例11】一条弦把圆分成1:3两部分，则弦所对的圆心角为______°．【难度】★【答案】90．【解析】∵一条弦把圆分成1:3两部分，∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360490，∴弦所对的圆心角为90．【总结】本题考查了同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．【例12】如图，在O中，ABAC，70B，则BAC______．【难度】★【答案】40．【解析】∵在O中，ABAC，∴CB，∵70B，∴18040BACBC．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用．例题解析8/25ABCDO【例13】如图，已知O的半径是6，30BOD，BDBC，CD=______．【难度】★★【答案】6．【解析】∵BDBC，30BOD，∴30BODBOC，∴60COD，∵OCOD，∴OCD是等边三角形，∴6CD．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．【例14】如图，1O和2O是等圆，P是12OO的中点，过点P作直线AD交1O于点A、B，交2O于点C、D．求证：AB=CD．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】作1OEAB于E，2OFCD于F，∵P是12OO的中点，∴1PEO≌2PFO，∴12OEOF，∵1O和2O是等圆，∴ABCD．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．【例15】已知，如图，AB、CD是O的直径，弦AE//CD，联结CE、BC．求证：BC=CE．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】∵OAOE，∴AOEA，∵AE//CD，∴BOCA，EOCOEA，∴BOCEOC，∴BCCE．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．FABCDPEABCDEO9/25OABC【例16】如图，O是ABC的外接圆，AO平分BAC，AOBBOC，判断ABC的形状，并说明理由．【难度】★★【答案】等边三角形．【解析】∵AO平分BAC，∴BAOCAO，∵OAOCOB，∴ABOBAOCAOACO，∴AOBAOC，∵AOBBOC，∴AOBAOCBOC，∴ABBCCA，∴ABC是等边三角形．【总结】本题考查同圆中相等的圆心角所对的弦相等．【例17】已知，如图，AB是O直径，M、N分别是AO、BO的中点，CMAB，DNAB．求证：ACBD．【难度】★★★【答案】详见解析．【解析】连接OC、OD，则OCOD，∵M、N分别是AO、BO的中点，∴OMON，∵CMAB，DNAB，∴OCM≌ODN，∴COMDON，∴ACBD．【总结】本题考查了同圆中相等的圆心角所对的弧相等．【例18】如图，以点O为圆心的圆弧上依次有四个点A、B、C、D，且AOBCOD．求证：四边形ABCD是等腰梯形．【难度】★★★【答案】详见解析．【解析】连接AC、BD，∵AOBCOD，∴ABCD，∵12ACBAOB，12CADCOD，∴ACBCAD，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形．【总结】本题综合性较强，主要考查了同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系，老师可以选择性的讲解．ABCDONMOABCD10/251、垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．2、相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．【例19】O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长为______．【难度】★【答案】8．【解析】∵O的直径为10，∴5OB，∵OMAB，∴OM平分AB，∴224BMOBOM，∴28ABBM．【总结】本题考查了垂径定理的运用．模块三：垂径定理知识精讲例题解析11/25ABCDEFO【例20】在半径为2的O中，弦AB的长为22，则弦AB所对的圆心角AOB=____°．【难度】★【答案】90．【解析】作ODAB于D，则2ADBD，∵2OB，∴222ODO