知识讲解-数列-基础

感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无数列编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题；2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系；3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项；4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.【要点梳理】知识点一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成：123naaaa，，，，，简记为na，其中数列的第1项1a，也称首项；数列的第n项na，也叫数列的通项.要点诠释：（1）{}na与na的含义完全不同：{}na表示一个数列，na表示数列的第n项.（2）数列的项与项数是两个不同的概念：数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.（3）数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（4）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.知识点二、数列的通项公式与前n项和1.数列的通项公式如果数列na的第n项na与n之间的函数关系可以用一个公式表示成()nafn，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.如数列：0,1,2,3,的通项公式为1nan；1111，，，，的通项公式为-11nna；1111,,,,234的通项公式为1nan；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列：1，0，1，0，1，0，通项公式可以是11(1)2nna，也可以是1|cos|2nna.（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有各项的一般表示．2.数列na{}的前n项和感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无数列{}na的前n项和：指数列{}na的前n项逐个相加之和，通常用nS表示，即12....nnSaaa3.na与nS的关系1*1,1,2.nnnSnaSSnnN；且知识点三、数列的分类1.根据数列项数的多少分有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3和2，4，8都是有穷数列；无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列.2.根据数列项的函数特性分递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项，即+1nnaa的数列；递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项，即+1nnaa的数列；常数数列：各项都相等，即+1=nnaa的数列；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.3.根据数列项的大小分有界数列：如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数；无界数列：不存在某个正数，使得数列任一项的绝对值都小于这个正数.知识点四、数列的表示方法1.通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系.给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项.2.列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用1a表示第一项，用2a表示第二项，…，用na表示第n项，…，依次写出得数列{}na．项数12…n…项1a2a…na…3.图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：以项数n为横坐标，相应的项na为纵坐标，即以(,)nna为坐标在平面直角坐感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无标系中做出点.所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．4.递推公式法递推公式：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.如：数列：-3，1，5，9，13，，可用递推公式：113,4(2)nnaaan表示；数列：3，5，8，13，21，34，55，89，，可用递推公式：12123,5,(3)nnnaaaaan表示.知识点五：数列与函数数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1,2,3,,}n）为定义域的函数()nafn，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数()yfx，如果()fi（1,2,3,,,in）有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f，(2)f，(3)f，，()fn，.要点诠释：1.数列是离散函数的重要模型之一数列是一个特殊的函数，它的定义域是正整数或正整数集的子集.数列是离散函数的一种（离散函数是相对于定义在实数集或者实数集的某个区间上的函数而言的），它在数学中有重要的地位.2.数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式.数列的通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系.给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项.3.数列的图象是落在y轴右侧的一群孤立的点数列()nafn的图象是以项数n为横坐标，相应的项na为纵坐标的一系列孤立的点(,)nna，这些点都落在函数()yfx的图象上.因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的有限或无限取决于数列是有穷数列还是无穷数列，我们从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．4.跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.【典型例题】类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无(1)0，32，83，154，…；(2)1，34，59，716，…；(3)9，99，999，9999，…；(4)6，1，6，1，….【思路点拨】观察法求数列的通项公式，需注意一下两点：纵向分析：观察各项与对应的项数n之间的关系；横向比较：观察各项之间的变化规律，能否用统一的式子表示.【解析】（1）将数列改写为2111，2212，2313，2414，…，故21nnan.（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用1(1)n来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故1221(1)nnnan.（3）将数列改写为1101，2101，3101，4101，…，故101nna.（4）将数列每一项减去6与1的平均值72得新数列52，-52，52，-52，…，故175(1)22nna或75cos(1).22nan【总结升华】写通项时注意以下常用思路：①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；②注意(－1)n在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n作指数，让数列中隔项出现倒数；③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景.④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化.⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：数列-1，1，-1，1，…的通项公式为(1)nna；数列1，2，3，4，…的通项公式为nan；数列1，3，5，7，…的通项公式为21nan；数列2，4，6，8，…的通项公式为2nan；数列1，4，9，16，…的通项公式为2nan；感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无数列1，12，13，14，…的通项公式为1nan.举一反三：【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271数列知识的讲解及配套练习】【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，1，1，1，…；(2)-1，1，-1，1，…；(3)1，-1，1，-1，…；(4)1111--234，，，，…；(5)2，0，2，0，….【答案】(1)1na；(2)2(1)nna；(3)1(1)nna；(4)11(1)nnan；(5)11(1)nna；类型二：通项公式的应用例2.设数列{}na满足2nnan，写出这个数列的前五项.【思路点拨】题中已给出{}na的通项公式2nnan，分别取12345n，，，，，即可求出前五项12345aaaaa，，，，.【解析】数列na的前五项为：113a；22142a；335a；44263a；557a.【总结升华】根据数列的通项公式，可以写出数列的所有项.举一反三：【变式1】设数列{}na满足(1)nnan，写出这个数列的前五项.【答案】1，12，13，14，15.【变式2】根据下列数列{}na的通项公式，写出它的第五项.（1）21nnan；（2）sin2nnan，感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无【答案】（1）59；（2）5.例3．已知数列{}na的通项公式32nan，试问下列各数是否为数列{}na的项，若是，是第几项？(1)94；(2)71.【思路点拨】本题考查同学们对项与项数的理解，在通项公式32nan中，已知项数na，求正自然数n，带入解方程即可.【解析】（1）设9432n，解得32n.故94是数列{}na的第32项.（2）设7132n，解得1243nN.故71不是数列{}na的项.【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，1,,,,nnnadSa中知三求二，就是采用了方程的思想.举一反三：【变式】已知数列{}na的通项公式(1)(2)nann，（1）若9900na，试问na是第几项？（2）56和28是否为数列{}na的项？【答案】（1）98项；（2）56是，28不是.类型三：递推公式的应用【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271例2】例4.设数列{}na满足：11a，111nnaa(2)n，写出这个数列的前五项.【思路点拨】题中已给出{}na的第1项11a和递推公式：111nnaa，故可以依次写出下列前五项.【解析】据题意可知：11a，21112aa，321312aa，431513aa，585a故数列的前5项为:1，2，23，35，58.【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.感谢您选择名昊教育，名昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进！楊老师联系电话（微信）无举一反三：【变式1】已知数列{}na满足：11a，23a，212nnnaaa(1)n，写出前6项.【答案】11a，23a，35a，411a，521a，643a.【变式2】已知数列{}na满足：21a，nnaa21，写出前5项，并猜想na．【答案】法一：21a，22222a，323222a，观察可得nna2法二：由nnaa21，∴12nnaa即21nnaa∴112322112nnnnnnnaaaaaaaa∴nnnaa2211类型四：前n项和公式nS与通项na的关系例5．已知数列{}na的前n项和公式nS，求通项na.（1）221nSnn，(2)2log(1)nSn.