北师大版高三数学复习专题-平面向量-阶段性测试题5

阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则AD→＝()A．(2,4)B．(3,7)C．(1,1)D．(－1，－1)[答案]D[解析]因为AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，所以BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，即AD→＝BC→＝(－1，－1)．选D．2．(2014·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝()A．(－2,1)B．(2，－1)C．(2,0)D．(4,3)[答案]B[解析]本题考查向量的坐标运算．b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选C．3．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→等于()A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C．23OA→－13OB→D．－13OA→＋23OB→[答案]A[解析]由题意知AC→＝－AB→，故OC→＝OA→＋AC→＝OA→－AB→＝OA→－(OB→－OA→)＝2OA→－OB→.4．已知正方形ABCD的边长为1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，则|a＋b＋c|等于()A．0B．22C．2D．3[答案]B[解析]由题意得，a＋b＝c，且|c|＝2，∴|a＋b＋c|＝|2c|＝22.5．已知a＝(3，－2)，b＝(1,0)向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－16B．16C．－17D．17[答案]C[解析]向量λa＋b与a－2b垂直，则(λa＋b)(a－2b)＝0，又因为a＝(3，－2)，b＝(1,0)，故(3λ＋1，－2λ)(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.6．(2014·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2[答案]D[解析]本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式．c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.由两向量的夹角相等可得a·c|a|＝b·c|b|，即为5m＋85＝8m＋2020，解得m＝2.7．(2015·皖南八校联考)已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(BC→－CA→)·(BD→－AD→)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案]A[解析](BC→－CA→)·(BD→－AD→)＝(BC→－CA→)·BA→＝0，所以BC→·BA→＝CA→·BA→，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．8．(2015·保定调研)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA→＋xOB→＋BC→＝0成立的实数x的取值集合为()A．{－1}B．∅C．{0}D．{0，－1}[答案]A[解析]∵BC→＝OC→－OB→，∴x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，即OC→＝－x2OA→＋(1－x)OB→，∴－x2＋(1－x)＝1，即x＝0或x＝－1(x＝0舍去)，∴x＝－1.9．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0αβπ，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于()A．π2B．－π2C．π4D．－π4[答案]A[解析]由|2a＋b|＝|a－2b|知3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0.而|a|＝1，|b|＝1，故a·b＝0，即cos(α－β)＝0，由于0αβπ，故－πα－β0，故β－α＝π2，选A．10．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OA→＋AB→＋AC→＝0，|OA→|＝|AB→|，则CA→·CB→等于()A．32B．3C．3D．23[答案]C[解析]由2OA→＋AB→＋AC→＝0，得OA→＋AB→＋OA→＋AC→＝OB→＋OC→＝0，所以OB→＝－OC→＝CO→，即O是BC的中点，所以BC为外接圆的直径，BC＝2，则∠BAC＝90°，因为|OA→|＝|AB→|，所以△ABO为正三角形，所以∠ABO＝60°，∠ACB＝30°，且|AC|＝3，所以CA→·CB→＝|CA→|·|CB→|·cos30°＝2×3×32＝3，选C．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．(文)若A、B、C、D四点共线，且满足AB→＝(3a,2a)(a≠0)，CD→＝(2，t)，则t＝________.[答案]43[解析]因为A、B、C、D四点共线，所以3at－4a＝0，又a≠0，所以t＝43.(理)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(12，1＋sinθ)，若a∥B．则锐角θ＝________.[答案]45°[解析]因为a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×12＝0，得cos2θ＝12，cosθ＝±22，锐角θ为θ＝45°.12．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是________．[答案]4,0[解析]2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ＋1)，|2a－b|＝2cosθ－32＋2sinθ＋12＝8＋4sinθ－43cosθ＝8＋8sinθ－π3，最大值为4，最小值为0.13．(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________.[答案]10[解析]此题考查向量数量积的运算．∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝4＋36＝210，∴a·b＝210×10×cos60°＝10.14．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________．[答案]22[解析]本题考查向量的线性运算及向量的数量积．由题意，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋14AB→，BP→＝BC→＋CP→＝BC→＋34CD→＝AD→－34AB→，所以AP→·BP→＝(AD→＋14AB→)·(AD→－34AB→)＝AD→2－12AD→·AB→－316AB→2，即2＝25－12AD→·AB→－316×64，解得AD→·AB→＝22.借助AD→·AB→表示出AP→·BP→是解决本题的关键所在．15．以下命题：①若|a·b|＝|a|·|b|，则a∥b；②a＝(－1,1)在b＝(3,4)方向上的投影为15；③若△ABC中，a＝5，b＝8，c＝7，则BC→·CA→＝20；④若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则|2b||a＋2b|.其中所有真命题的标号是________．[答案]①②④[解析]由|a·b|＝|a|·|b||cosa，b|＝|a|·|b|，所以cosa，b＝±1，即a，b＝0或a，b＝π，所以a∥b，所以①正确．a在b方向上的投影为|a|cosa，b＝a·b|b|＝－3＋45＝15，所以②正确．cosC＝52＋82－722×5×8＝12，即C＝60°，所以BC→·CA→＝|BC→|·|CA→|cos120°＝5×8×(－12)＝－20，所以③错误．由|a＋b|＝|b|得，a2＋2a·b＝0，即2a·b＝－a2，若|2b||a＋2b|，则有4b2a2＋4a·b＋4b2，即a2＋4a·b＝a2－2a2＝－a20，显然成立，所以④正确．综上真命题的标号为①②④.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，是否能以a，b为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量c用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由．[解析]∵a＝(3，－2)，b＝(－2,1)．∴3×1－(－2)×(－2)＝－1≠0.∴a与b不共线，故一定能以a，b作为平面内的所有向量的一组基底．设c＝λa＋ub即(7，－4)＝(3λ，－2λ)＋(－2u，u)＝(3λ－2u，－2λ＋u)，∴3λ－2u＝7－2λ＋u＝－4，解得λ＝1，u＝－2.∴c＝a－2B．17．(本小题满分12分)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)．(1)若A、B、C三点共线，求实数m的值；(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．[解析](1)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－(3＋m))．∴AB→＝(3,1)，AC→＝(2－m,1－m)，∵A、B、C三点共线，∴AB→与AC→共线，∴3(1－m)＝2－m，∴m＝12.(2)由题设知BA→＝(－3，－1)，BC→＝(－1－m，－m)∵∠ABC为锐角，∴BA→·BC→＝3＋3m＋m0⇒m－34又由(1)可知，当m＝12时，∠ABC＝0°故m∈－34，12∪12，＋∞.18．(本小题满分12分)A、B、C是△ABC的内角，a、b、c分别是其对边，已知m＝(2sinB，－3)，n＝(cos2B,2cos2B2－1)，且m∥n，B为锐角．(1)求B的大小；(2)如果b＝3，求△ABC的面积的最大值．[解析](1)∵m∥n，∴2sinB(2cos2B2－1)－(－3)cos2B＝0，∴sin2B＋3cos2B＝0，∴2sin(2B＋π3)＝0，∴2B＋π3＝kπ(k∈Z)，∴B＝kπ2－π6，∵B为锐角，∴B＝π3.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，∴9＝a2＋c2－ac，∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤9.等号在a＝c时成立，∴S△ABC＝12acsinB≤12×9×32＝934.故△ABC的面积的最大值为934.19．(本小题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为π3.(1)求|a＋2b|；(2)若向量a＋2b与ta＋b垂直，求实数t的值．[解析](1)∵向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为π3，∴|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cosπ3＋4＝23.(2)∵向量a＋2b与ta＋b垂直，∴(a＋2b)·(ta＋b)＝0，∴ta2＋(2t＋1)a·b＋2b2＝0，∴4t＋(2t＋1)×2×1×cosπ3＋2＝0，解得t＝－12.20．(本小题满分13分)如图所示，已知△OCB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是将OB→分成的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝B．(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．[解析](1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝23OB→.由平行四边形法则，可得OB→＋OC→＝2OA→，所以OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53B．(2)如题图，EC→∥DC→，又因为EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，且DC→＝2a－53b，所以2－λ2＝－1－53，所以λ＝45.21．(本小题满分14分)(文)已知向量OP＝(2cos(π2＋x)，－1)，OQ＝(－sin(π2－x)，cos2x)，定义函数f(x)＝OP·OQ.(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面积S.[解析](1)f(x)＝OP·OQ＝(－2sinx，－1)·(－cosx，cos2x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，∴f(x)的最大值和最小值分别是2和－2.(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A－π4)＝22.∴2A－