北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第1节

第四章第一节一、选择题1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)[答案]C[解析]与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．2．若α是第三象限角，则y＝|sinα2|sinα2＋|cosα2|cosα2的值为()A．0B．2C．－2D．2或－2[答案]A[解析]∵α是第三象限角，∴α2是第二或第四象限角．当α2为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；当α2为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.∴y＝0.3．(文)若α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为()A．12B．－12C．－32D．－33[答案]C[解析]P(2sin30°，－2cos30°)即P(1，－3)，∴r＝2，故sinα＝－32，故选C．(理)点P(tan2015°，cos2015°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]∵2015°＝5×360°＋215°，∴2015°的角的终边在第三象限．∴tan2015°0，cos2015°0，∴点P在第四象限．4．与610°角终边相同的角可表示为()A．k·360°＋230°，k∈ZB．k·360°＋250°，k∈ZC．k·360°＋70°，k∈ZD．k·360°＋270°，k∈Z[答案]B[解析]由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同．5．(文)若α是第三象限的角，则π－12α是()A．第一或第二象限的角B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角D．第二或第四象限的角[答案]B[解析]由已知，得2kπ＋πα2kπ＋32π(k∈Z)∴－kπ＋π4π－α2－kπ＋π2(k∈Z)．∴π－α2是第一或第三象限的角．(理)若3π2α2π，则直线xcosθ＋ysinα＝1必不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]B[解析]判断cosα0，sinα0，数形结合．6．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B．12C．－32D．32[答案]B[解析]r＝64m2＋9，∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，∴m0.∴4m264m2＋9＝125，∴m＝±12.∵m0，∴m＝12.二、填空题7．已知角α的终边落在直线y＝－3x(x0)，则|sinα|sinα－|cosα|cosα＝________.[答案]2[解析]因为角α的终边落在直线y＝－3x(x0)上，所以角α是第二象限角，因此sinα0，cosα0，故|sinα|sinα－|cosα|cosα＝sinαsinα－－cosαcosα＝1＋1＝2.8．函数y＝sinx＋12－cosx的定义域是________．[答案][x|π3＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)[解析]由题意知sinx≥0，12－cosx≥0.即sinx≥0，cosx≤12.∴x的取值范围为{x|π3＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}．9．(2014·昆明模拟)已知α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m,3m)(m0)是α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.[答案]25[解析]由条件可求得r＝5m，所以sinα＝35，cosα＝－45，所以2sinα＋cosα＝25.三、解答题10．(1)设90°α180°.角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.[解析](1)∵r＝x2＋5，cosα＝xx2＋5.从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝±3.∵90°α180°，∴x0，因此x＝－3.故r＝22，sinα＝522＝104，tanα＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tanθ＝－1x，又∴tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－22，cosθ＝22；当x＝－1时，sinθ＝－22，cosθ＝－22.一、选择题1．(文)已知角α的终边上一点P的坐标为(sin2π3，cos2π3)，则角α的最小正值为()A．5π6B．2π3C．5π3D．11π6[答案]D[解析]由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin2π3＝32，故α＝2kπ－π6(k∈Z)，所以α的最小正值为11π6.(理)已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于()A．2B．－2C．2－π2D．π2－2[答案]C[解析]点P位于第一象限，且tanα＝－cot2＝－tanπ2－2＝tan2－π2，∵2－π2∈0，π2，∴α＝2－π2.2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C．2sin1D．2sin1[答案]C[解析]由已知可得该圆的半径为1sin1.∴2弧度的圆心角所对的弧长为2×1sin1＝2sin1.二、填空题3．若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n等于________．[答案]2[解析]依题意：n＝3m，m2＋n2＝10.解得：m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3，又sinα0，∴α的终边落在第三象限，∴n0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.4．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是________．[答案]β＝α＋kπ，k∈Z[解析]当α、β的终边重合时，β＝α＋k·2π，k∈Z.当α、β的终边互为反向延长线时，β＝π＋α＋k·2π＝α＋(2k＋1)π，k∈Z.综上，β＝α＋kπ，k∈Z.三、解答题5．已知扇形的面积为S，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．[解析]解法1：设l为扇形的弧长，由S＝12l·r得l＝2Sr，故扇形的周长C＝2r＋2Sr.即2r2－C·r＋2S＝0.由于r存在，故方程有解，因此有Δ＝C2－16S≥0，即C≥4S.∴周长C的最小值为4S.此时，r＝C±Δ2×2＝S，中心角α＝2Sr2＝2rad所以当扇形的中心角为2rad时，扇形的周长最小，最小值为4S.解法2：设l为扇形的弧长，由S＝12l·r得l＝2Sr，故扇形的周长C＝2r＋2Sr≥22r·2Sr＝4S.当且仅当2r＝2Sr，即S＝r2时取“＝”，此时，α＝lr＝2Sr2＝2r2r2＝2raD．所以当扇形的中心角为2rad时，扇形的周长最小，最小值为4S.6．(2014·绍兴月考)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．[解析]由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a)．所以，sinα＝－2aa2＋－2a2＝－25，cosα＝aa2＋－2a2＝15，tanα＝－2aa＝－2，sinβ＝a2a2＋a2＝15，cosβ＝2a2a2＋a2＝25，tanβ＝a2a＝12，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.