北师大版高三数学复习专题-平面向量-专题整合5

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学平面向量第五章第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学知识网络1题型归类2第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学知识网络第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学题型归类第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样可以将许多几何问题转化为熟知的数量运算．这也给我们解决几何问题提供了一种新的方法——向量坐标法，即建立平面直角坐标系，将几何问题用坐标表示，通过向量的坐标运算解决问题．转化与化归思想在向量解题中的应用第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点．已知|AB→|＝2|OA→|，且点B的纵坐标大于零．(1)求向量AB→的坐标；(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．[思路分析]由AB→＝OB→－OA→，得到OB→＝AB→＋OA→，再利用B点纵坐标的要求，对AB→的坐标进行取舍．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答](1)设AB→＝(u，v)．由题意知|AB→|＝2|OA→|，AB→·OA→＝0，即u2＋v2＝100，4u－3v＝0，解得u＝6，v＝8，或u＝－6，v＝－8.因为OB→＝OA→＋AB→＝(u＋4，v－3)，所以v－30，所以v＝8，故AB→＝(6,8)．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学(2)由OB→＝(10,5)，得B(10,5)，所以直线OB的方程为y＝12x.由条件可知圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝10，所以圆心坐标为(3，－1)，半径为10.设圆心(3，－1)关于直线OB的对称点为(x，y)，x＋32－2×y－12＝0，y＋1x－3＝－2，解得x＝1，y＝3.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学如图所示，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC．[思路分析]借助向量的减法，分别表示出向量，然后代入已知条件证明．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]设AB→＝c，AC→＝b，AD→＝m，则BD→＝AD→－AB→＝m－c，CD→＝AD→－AC→＝m－B．∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即∴c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，即2m·(c－b)＝0，即AD→·(AB→－AC→)＝0，∴AD→·CB→＝0，∴AD⊥BC．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学平面向量的坐标运算使平面向量代数化，而向量与代数中的函数最值等问题结合，即是通过向量的数量积的坐标运算联系起来的．向量与其他知识的结合，已成为高考命题的热点．函数与方程思想在向量解题中的应用第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学已知a＝(3，－1)，b＝12，32，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y.试求k＋t2t的最小值．[思路分析]本题借助x⊥y建立k与t的函数关系，再利用函数的有关知识解决．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]∵a＝(3，－1)，b＝12，32，|a|＝32＋－12＝2，|b|＝122＋322＝1.∵a·b＝3×12＋(－1)×32＝0，故有a⊥B．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·b＝0，∴－k|a|2＋(t3－3t)|b|2＝0.将|a|＝2，|b|＝1，代入上式得－4k＋t3－3t＝0，∴k＝t3－3t4，∴k＋t2t＝14(t2＋4t－3)＝14(t＋2)2－74，故当t＝－2时，k＋t2t有最小值－74.第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学利用向量解决平面几何问题是一种基本方法．以向量为工具，应用向量的加、减法的几何意义，也可用基底或坐标表示，然后经过推理论证得出结论．高考中向量与平面几何的结合越来越密切，甚至在整个解析几何综合题中充当“主角”．数形结合思想在向量解题中的应用第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学已知AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC和BD互相平分．求证：四边形ABCD是平行四边形．[思路分析]利用向量证明四边形为平行四边形时，只需证明表示四边形两条对边的向量相等即可．[规范解答]如图所示，设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O且互相平分，于是AO→＝OC→，OB→＝DO→.则AB→＝AO→＋OB→＝OB→＋AO→＝DO→＋OC→＝DC→，因此AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|.所以四边形ABCD为平行四边形.第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学当填空题暗示答案是一个“定值”时，我们可以取一个(些)特殊数值或一个(些)特殊位置或一个(些)特殊图形来确定这个“定值”，以节省推理论证过程．对于解答题，特例常常只是提供论证的方向，而对填空题却就是答案了，当题目的条件是从一般性的角度给出时，特殊法尤其有效．值得注意的是，特殊化中，根据普通与特殊的关系，除了取特殊数值外，还可以取特殊角、特殊函数、特殊位置、特殊数列、特殊图形等．特殊化思想在向量解题中的应用第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学(2014·青岛调研)如图，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且AO→＝2AK→，过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n＝________.[思路分析]题目中过点K的直线是任意的，因此m和n的值是变化的，但从题意看m＋n的值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线(∵OA→＝2AK→，∴K是AO的中点)．这时由于有AB→＝2AM→，AC→＝2AN→，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.[方法总结]本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意，但m＋n的值却是定值”这一信息，通过取直线的一个特殊位置得到了问题的解，显得非常简单，在求解这类填空题时，就要善于捕捉这样的有效信息，帮助我们解决问题.第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学整体思想在向量中的应用向量具有几何和代数的双重性，数与形的紧密结合是向量的特点．向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，使向量的运算坐标化，即代数化．平面向量OA→与点A(x，y)之间建立了一一对应关系，对平面向量来讲既有大小又有方向，是一个整体；对OA→＝(x，y)，(x，y)也是一个整体，向量的许多运算都可以用这个“整体”来解决，这就是向量的坐标运算的整体思想.第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学如图所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：PQ→与BC→的夹角θ取何值时，BP→·CQ→的值最大？并求出这个最大值．[思路分析]解答本题的关键是要结合图形，利用向量的三角形法则找出向量之间的关系；或建立适当的坐标系，利用向量的坐标形式来解答．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学[规范解答]以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．设B(b,0)，C(0，c)，所以b2＋c2＝a2.设P点坐标为(x，y)，则Q点坐标为(－x，－y)，且x2＋y2＝a2，则BP→＝(x－b，y)，CQ→＝(－x，－y－c)．BP→·CQ→＝(x－b)(－x)＋y(－y－c)＝－(x2＋y2)＋(bx－cy)．又BC→＝(－b，c)，PQ→＝(－2x，－2y)．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学而BC→·PQ→＝2a2cosθ＝2bx－2cy，∴BP→·CQ→＝a2cosθ－a2.∴当cosθ＝1时，BP→·CQ→有最大值0，即当θ＝0°(即PQ→与BC→的方向相同)时，BP→·CQ→最大，最大值为0.第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学求解此类问题的关键是：(1)巧妙“转化”——以向量数量积、向量共线、向量垂直等形式出现的条件还其本来面目，转化为对应坐标乘积之间的关系；(2)活用“性质”——活用正弦函数的性质：两域(定义域、值域)、四性(奇偶性、单调性、周期性、对称性)，以及整体换元思想；(3)妙用“定理”——解三角形问题，应认真分析已知条件中的边角关系，再用正弦定理、余弦定理即可顺利解决．平面向量、三角函数与解三角形的综合第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学已知向量m＝(3sin2x＋2，cosx)，n＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝m·n.(1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)＝4，b＝1，△ABC的面积为32，求a的值．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学[思路分析]先利用平面向量的数量积，求出函数f(x)的解析式，再利用三角公式对函数f(x)的解析式进行化简．(1)先利用正弦函数的最小正周期公式，即可求出其最小正周期，再利用正弦函数的单调性，即可求出f(x)的单调递增区间；(2)由f(A)＝4，可求出角A的值，再利用任意三角形的面积公式，可求出边c的值，最后利用余弦定理求边a的值．[规范解答]因为m＝(3sin2x＋2，cosx)，n＝(1,2cosx)，函数f(x)＝m·n，所以f(x)＝3sin2x＋2＋2cos2x＝3sin2x＋cos2x＋3＝2sin(2x＋π6)＋3.第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学(1)f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k∈Z.第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学(2)因为f(A)＝4，所以2sin(2A＋π6)＋3＝4，即sin(2A＋π6)＝12.由于0Aπ，所以2A＋π6＝5π6，即A＝π3.又因为S△ABC＝12bcsinA＝32且b＝1，所以34c＝32，解得c＝2.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2×12＝3，所以a＝3.第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学[方法总结]向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常应用向量的数量积的运算及性质把所给问题化成三角函数问题．第五章平面向量走向高考·高考总复习·北师大版·数学课时作业（点此链接）