北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第4节

第四章第四节一、选择题1．(文)函数f(x)＝2sinxcosx是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数[答案]C[解析]本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性．f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，最小正周期T＝2π2＝π，且f(x)是奇函数．(理)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A．f(x)在(π4，π2)上是增加的B．f(x)的图像关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2[答案]B[解析]本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π，最大值为1，故C、D错；f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx，为奇函数，其图像关于原点对称，B正确；函数的递增区间为kπ－π4，kπ＋π4，(k∈Z)排除A．2．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B．[－54，－1]C．[－54，1]D．[－1，54][答案]C[解析]本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sinx＝t换元转化为t的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2＋t－1，(－1≤t≤1)，显然－54≤y≤1，选C．3．(文)(2014·福建高考)将函数y＝sinx的图像向左平移π2个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是()A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图像关于直线x＝π2对称D．y＝f(x)的图像关于点(－π2，0)对称[答案]D[解析]本题考查了正弦函数图像平移变换、余弦函数图像性质．平移后图像对应函数为y＝sin(x＋π2)，即y＝cosx，则由y＝cosx图像性质知D正确．(理)(2014·安徽高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f(23π6)＝()A．12B．32C．0D．－12[答案]A[解析]由题意意f(23π6)＝f(17π6)＋sin17π6＝f(11π6)＋sin11π6＋sin17π6＝f(5π6)＋sin5π6＋sin11π6＋sin17π6＝0＋12－12＋12＝12.4．(文)函数f(x)＝sinxcosx＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2[答案]A[解析]本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．f(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)，周期T＝π，振幅为1，故选A．(理)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]若f(x)是奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，即Acos(ωx＋φ)＋Acos(－ωx＋φ)＝0，整理得cosωxcosφ＝0恒成立，故cosφ＝0，φ＝kπ＋π2，k∈Z，故“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．5．已知函数f(x)＝3sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为()A．{x|kπ＋π3≤x≤kπ＋π，k∈Z}B．{x|2kπ＋π3≤x≤2kπ＋π，k∈Z}C．{x|kπ＋π6≤x≤kπ＋5π6，k∈Z}D．{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z}[答案]B[解析]∵f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)，∴f(x)≥1，即2sin(x－π6)≥1，∴sin(x－π6)≥12，∴π6＋2kπ≤x－π6≤5π6＋2kπ，k∈Z.解得π3＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.6．使f(x)＝sin(2x＋y)＋3cos(2x＋y)为奇函数，且在[0，π4]上是减函数的y的一个值是()A．π3B．2π3C．4π3D．5π3[答案]B[解析]因为f(x)＝2sin(2x＋y＋π3)是奇函数，故f(0)＝2sin(y＋π3)＝0，排除A、C；若y＝5π3，则f(x)＝2sin2x，在[0，π4]上是增函数，故D错．二、填空题7．比较大小：(1)sin－π18________sin－π10.(2)cos－23π5________cos－17π4.[答案](1)(2)[解析](1)∵－π2－π10－π18π2，y＝sinx在－π2，π2上是增加的，∴sin－π10sin－π18，即sin－π18sin－π10.(2)cos－23π5＝cos23π5＝cos4π＋3π5＝cos3π5，cos－17π4＝cos17π4＝cos4π＋π4＝cosπ4.∵0π43π5π，且函数y＝cosx在[0，π]上是减少的，∴cosπ4cos3π5，即cos－17π4cos－23π5，即cos－23π5cos－17π4.8．函数y＝12sin(π4－23x)的单调递增区间为________．[答案][9π8＋3kπ，21π8＋3kπ](k∈Z)[解析]由y＝12sin(π4－23x)，得y＝－12sin(23x－π4)，由π2＋2kπ≤23x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，得9π8＋3kπ≤x≤21π8＋3kπ，k∈Z，故函数的单调递增区间为[9π8＋3kπ，21π8＋3kπ](k∈Z)．9．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．[答案](1,3)[解析]f(x)＝sinx＋2|sinx|＝3sinx，0≤x≤π，－sinx，πx≤2π.在同一坐标系中，作出函数f(x)与y＝k的图像可知1k3.三、解答题10．已知函数f(x)＝－1＋23sinxcosx＋2cos2x.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．[解析]f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，(1)由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)，∴f(x)的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．(2)由sin2x＋π6＝0得2x＋π6＝kπ(k∈Z)，即x＝kπ2－π12(k∈Z)，∴f(x)图像上与原点最近的对称中心坐标是－π12，0.(3)由f(α)＝f(β)得：2sin2α＋π6＝2sin2β＋π6，又∵角α与β不共线，∴2α＋π6＋2β＋π6＝2kπ＋π(k∈Z)，即α＋β＝kπ＋π3(k∈Z)，∴tan(α＋β)＝3.一、选择题1．已知函数f(x)＝sinωx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为()A．y＝f2x－12B．y＝f(2x－1)C．y＝fx2－1D．y＝fx2－12[答案]B[解析]由图得，图(2)是将图(1)中的图像先向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到，即y＝f(x)→y＝f(x－1)→y＝f(2x－1)．2．(文)将函数y＝sinx－3cosx的图像沿x轴向右平移a(a0)个单位长度，所得函数的图像关于y轴对称，则a的最小值是()A．7π6B．π2C．π6D．π3[答案]C[解析]∵y＝sinx－3cosx＝2sin(x－π3)，经平移后的函数图像所对应解析式为y＝2sin(x－a－π3)，它关于y轴对称，∴－a－π3＝kπ＋π2，k∈Z.又a0，由分析可知a的最小值为π6.故选C．(理)(2014·辽宁高考)将函数y＝3sin(2x＋π3)的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数()A．在区间[π12，7π12]上单调递减B．在区间[π12，7π12]上单调递增C．在区间[－π6，π3]上单调递减D．在区间[－π6，π3]上单调递增[答案]B[解析]本题考查三角函数的图像平移、三角函数的单调区间．y＝3sin[2(x－π2)＋π3]＝3sin(2x＋π3－π)＝－3sin(2x＋π3)．2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，2kπ－5π6≤2x≤2kπ＋π6，kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，∴[kπ－5π12，kπ＋π12](k∈Z)是减区间，[kπ＋π12，kπ＋7π12](k∈Z)是增区间．故选B．二、填空题3．若直线y＝a与函数y＝sinx，x∈[－2π，2π)的图像有4个交点，则a的取值范围是________．[答案](－1,1)[解析]如图所示：y＝sinx，x∈[－2π，2π)有两个周期，故若y＝sinx与y＝a有4个交点，则－1a1.4．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)，给出下列四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图像关于直线x＝π12成轴对称图形；③它的图像关于点(π3，0)成中心对称图形；④在区间[－π6，0)上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)[答案]①②⇒③④(也可填①③⇒②④)[解析]若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝kπ＋π2，k∈Z且|φ|π2，故k＝0，∴φ＝π3.此时f(x)＝sin(2x＋π3)，当x＝π3时，sin(2x＋π3)＝sinπ＝0，∴f(x)的图像关于(π3，0)成中心对称；又f(x)在[－5π12，π12]上是增函数，在[－π6，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.三、解答题5．(文)(2014·福建高考)已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．(1)求f(5π4)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．[解析](1)f(5π4)＝2cos5π4(sin5π4＋cos5π4)＝－2cosπ4(－sinπ4－cosπ4)＝2.(2)因为f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋π4)＋1，所以T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为[kπ－3π8，kπ＋π8]，k∈Z.(理)(2014·福建高考)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－12.(1)若0απ2，且sinα＝22，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．[解析](1)∵0απ2，sinα＝22，∴cosα＝22∴f(α)＝22(22＋22)－12＝12(2)∵f(x)＝sinxcosx＋cos2x－12＝12sin2x＋1＋cos2x2－12＝12sin2x＋12cos2x＝22sin(2x＋π4)∴T＝2π2＝π由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z得kπ－38π≤x≤kπ＋π8k∈Z∴f(x)的单调递增区间为[kπ－38π，kπ＋π8]k∈Z.6．(文)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．[解析](1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝sinx－cosx·2sinxcosxsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin(2x－π4)－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋π2，2kπ＋3