北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第5节

第四章第五节一、选择题1．函数y＝cos(2x－π3)的部分图像可能是()[答案]D[解析]∵y＝cos(2x－π3)，∴当2x－π3＝0，即x＝π6时，函数取得最大值1，结合图像看，可使函数在x＝π6时取得最大值的只有D．2．函数f(x)＝sinxcosx＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2[答案]A[解析]本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．f(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)，周期T＝π，振幅为1，故选A．3．(2014·浙江高考)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝2sin3x的图像()A．向右平移π4个单位B．向左平移π4个单位C．向右平移π12个单位D．向左平移π12个单位[答案]D[解析]本题考查三角函数图像变换．y＝sin3x＋cos3x＝2sin(3x＋π4)，只需将函数y＝2sin3x的图像向左平移π12个单位，选D．4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的部分图像如图所示，则()A．ω＝1，φ＝π6B．ω＝1，φ＝－π6C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝－π6[答案]D[解析]由图可知T4＝712π－π3＝π4，T＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，又因为图像向右平移了π2－π3＝π6，∴φ＝－π6.(或利用2π3＋φ＝π2解也可)5．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0θπ)，其图像与直线y＝2的交点的横坐标为x1、x2，若|x1－x2|的最小值为π，则()A．ω＝2，θ＝π2B．ω＝12，θ＝π2C．ω＝12，θ＝π4D．ω＝2，θ＝π4[答案]A[解析]y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数且0θπ，所以θ＝π2，y＝2cosωx，∴y∈[－2,2]．又∵|x1－x2|min＝π，故y＝2与y＝2cosωx的交点为最高点，于是最小正周期为π.即2πω＝π，所以ω＝2.故选A．6．(文)如图，在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(m/s)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin2πt＋π6，单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为()A．63B．33C．3D．6[答案]A[解析]∵s＝6sin2πt＋π6，∴T＝2πω＝1，从最左边到平衡位置O需要的时间为T4＝14s，由6sin2π×14＋π6＝33，得从最右边到最左边的距离为63.(理)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，上班高峰某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sint2(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20][答案]C[解析]F(t)的周期为T＝2π12＝4π，当2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z时递增，即增区间是[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z，又0≤t≤20，故函数F(t)在[0，π]和[3π，5π]上递增，故选C．二、填空题7．(2014·重庆高考)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π2≤φπ2)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y＝sinx的图像，则f(π6)＝________.[答案]22[解析]此题考查三角函数图像变换．∴ω＝12，φ＝π6∴f(x)＝sin(12x＋π6)，∴f(π6)＝sinπ4＝22.8．若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图像向右平移π4个单位后得到图像关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是________．[答案]π4[解析]将函数y＝2sin(3x＋φ)的图像向右平移π4个单位后得到2sin[3(x－π4)＋φ]＝2sin(3x－3π4＋φ)的图像．因为该函数的图像关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，故有π4＋φ＝kπ(k∈Z)．解得φ＝kπ－π4(k∈Z)．当k＝0时，|φ|取得最小值π4.9．(2014·北京高考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)．若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)＝f(2π3)＝－f(π6)，则f(x)的最小正周期为________．[答案]π[解析]本题考查了正弦型函数的单调性对称性以及周期的概念．由f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)＝－f(π6)知，f(x)有对称中心(π3，0)，由f(π2)＝f(23π)知f(x)有对称轴x＝12(π2＋2π3)＝7π12，记T为最小正周期，则12T≥π2－π6⇒T≥2π3，从而7π12－π3＝T4⇒T＝π.三、解答题10．(文)设函数f(x)＝sinx＋sin(x＋π3)．(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变化得到．[解析](1)因为f(x)＝sinx＋12sinx＋32cosx＝32sinx＋32cosx＝3sin(x＋π6)．所以当x＋π6＝2kπ－π2，即x＝2kπ－2π3(k∈Z)时，f(x)取最小值－3.此时x的取值集合为{x|x＝2kπ－2π3，k∈Z}．(2)先将y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y＝3sinx的图像；再将y＝3sinx的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y＝f(x)的图像．(理)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋π4)(ω0)的最小正周期为π(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．[解析](1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋π4)＝22sinxω·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋π4)＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减.一、选择题1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0)的部分图像如图，则ω＝()A．5B．4C．3D．2[答案]B[解析]本题考查正弦型函数的图像性质．由图像知，函数周期为2×(x0＋π4－x0)＝π2，∴2πω＝π2，∴ω＝4.2．(文)定义行列式运算a1a2a3a4＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝sin2x3cos2x1的图像向左平移π6个单位，以下是所得函数图像的一个对称中心的是()A．(π4，0)B．(π2，0)C．(π3，0)D．(π12，0)[答案]B[解析]根据行列式的定义可知f(x)＝sin2x－3cos2x＝2sin(2x－π3)，向左平移π6个单位得到g(x)＝2sin[2(x＋π6)－π3]＝2sin2x，所以g(π2)＝2sin(2×π2)＝2sinπ＝0，所以(π2，0)是函数的一个对称中心，选B．(理)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是(12，32)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A．[0,1]B．[1,7]C．[7,12]D．[0,1]和[7,12][答案]D[解析]∵T＝12，∴ω＝2π12＝π6，从而设y关于t的函数为y＝sin(π6t＋φ)．又∵t＝0时，y＝32，∴φ＝π3，∴y＝sin(π6t＋π3)，∴2kπ－π2≤π6t＋π3≤2kπ＋π2，即12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z时，y递增．∵0≤t≤12，∴函数y的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．二、填空题3．(文)已知函数f(x)＝－3sin2x＋sinxcosx，则f25π6＝________.[答案]0[解析]解法1：f(x)＝－3×1－cos2x2＋12sin2x＝－32＋12sin2x＋32cos2x＝－32＋sin2x＋π3，∴f256π＝－32＋sin263π＝－32＋sin2π3＝－32＋32＝0.解法2：当x＝25π6时，f256π＝－3sin225π6＋sin25π6cos25π6＝－3sin2π6＋sinπ6cosπ6＝－34＋12×32＝0.(理)函数y＝3sinx2－π6的对称中心是____________．[答案]π3＋2kπ，0，k∈Z[解析]由x2－π6＝kπ，k∈Z得x2＝π6＋kπ.∴x＝π3＋2kπ，k∈Z.∴对称中心是π3＋2kπ，0(k∈Z)．4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像上的一段，则这个函数的解析式为______________．[答案]y＝2sin3x2－3π4[解析]A＝2，T2＝5π6－π6＝2π3，T＝4π3，∵2πω＝43π，∴ω＝32，∴y＝2sin32x＋φ.∵当x＝56π时，y＝2，∴2＝2sin32×56π＋φ，即sinφ＋54π＝1，∴φ＋54π＝π2，φ＝－3π4，∴y＝2sin32x－3π4.三、解答题5．(文)(2015·广东联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋π6)＋sin(2x－π6)－cos2x＋a(a∈R，a为常数)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f(x)的图像向左平移m(m0)个单位后，得到函数g(x)的图像关于y轴对称，求实数m的最小值．[解析](1)f(x)＝sin(2x＋π6)＋sin(2x－π6)－cos2x＋a＝3sin2x－cos2x＋a＝2sin(2x－π6)＋A．∴f(x)的最小正周期为2π2＝π，当2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，故所求函数f(x)的单调增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．(2)函数f(x)的图像向左平移m(m0)个单位后得g(x)＝2sin[2(x＋m)－π6]＋a要使g(x)的图像关于y轴对称，只需2m－π6＝kπ＋π2(k∈Z)．即m＝kπ2＋π3(k∈Z)，所以m的最小值为π3.(理)已知函数f(x)＝3sinωx·cosωx－cos2ωx(ω0)的周期为π2.(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对的角为x，求此时函数f(x)的值域．[解析](1)f(x)＝32sin2ωx－12(cos2ωx＋1)＝sin(2ωx－π6)－12，由f(x)的周期T＝2π2ω＝π2，得ω＝2，∴f(x)＝sin(4x－π6)－12，由2kπ－π2≤4x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得－π12＋kπ2≤x≤π6＋kπ2(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间是[－π12＋kπ2，π6＋kπ2](k∈Z)．(2)由题意，得cosx＝a2＋c2－b22ac≥2ac－ac2ac＝12，又∵0xπ，∴0x≤π3，∴－π64x－π6≤7π6，∴－12sin(4x－π6)≤1，∴－1sin(4x－π6)－12≤12，∴f(x)的值域为(－1，12]．6．(2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解析](1)因为f(t)＝10－2(32cosπ12t＋12sinπ12t)＝10－2sin(π12t＋π3)．又0≤t24，