北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第6节

第四章第六节一、选择题1．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C．3D．32[答案]B[解析]本题考查“已知两角及一角的对边”解三角形，由正弦定理得：32sin60°＝ACsin45°，即AC＝23.2．(2014·广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件[答案]A[解析]本题考查三角形内角和，诱导公式及充要条件．由a≤b得A≤B．当B为锐角时，sinA≤sinB；当B为直角时，sinA≤sinB；当B为钝角时，π－B＝A＋CA，此时π－B为锐角，所以sin(π－B)sinA，即sinBsinA，综上：sinA≤sinB．反之亦成立，选A．3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．23B．2C．2D．1[答案]B[解析]本题考查正弦定理、二倍角公式等．由正弦定理得1sinA＝3sinB＝3sin2A＝32sinAcosA，即2sinAcosA＝3sinA，又sinA0，∴cosA＝32，A＝π6，B＝π3，C＝π2，∴c＝2.4．(文)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A．(0，π6]B．[π6，π)C．(0，π3]D．[π3，π)[答案]C[解析]本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc≥bc2bc＝12，∴0A≤π3，故选C．(理)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()A．32B．22C．12D．－12[答案]C[解析]本题考查了余弦定理、基本不等式等知识．由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC，∵a2＋b2＝2c2，∴c2＝2abcosC，又由2c2＝a2＋b2≥2ab得c2≥ab，∴cosC＝c22ab≥12，故选C．5．(2014·新课标Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B．5C．2D．1[答案]B[解析]本题考查余弦定理及三角形的面积公式．∵S△ABC＝12acsinB＝12·2·1·sinB＝12，∴sinB＝22，∴B＝π4或3π4.当B＝π4时，经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B＝3π4，根据余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝5，故选B．6．△ABC中，a2tanB＝b2tanA，则三角形的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形[答案]C[解析]由正弦定理得sin2AtanB＝sin2BtanA，sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B．又因为A，B∈(0，π)，所以A＝B或A＋B＝90°.二、填空题7．(文)(2014·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________.[答案]π3或2π3[解析]本题考查正弦定理．由正弦定理得3sinB＝1sinπ6，所以sinB＝32.又因为ba，所以B＝π3或2π3.(理)(2014·天津高考)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝14a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．[答案]－14[解析]∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，又∵b－c＝14a，∴b＝34a，c＝12a，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝916a2＋14a2－a22×34a×12a＝－14.8．(文)在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．[答案]π2[解析]本题考查已知两边及其一边的对角解三角形，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sinπ3＝3sinB，∴sinB＝12，又∵ab，∴AB，∴B＝π6.又A＋B＋C＝π，∴C＝π2.(理)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为________．[答案]钝角三角形[解析]∵△ABC中，cbcosA，∴cbcosA，由正弦定理得sinCsinBcosA，∴sin(A＋B)sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinBsinBcosA，∴sinAcosB0.又sinA0，∴cosB0.故B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，则AB＝________.[答案]10[解析]设AB＝c，∵a＋b＝23，ab＝2，cosA＋B＝12，∴cosC＝－12.又∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝a＋b2－2ab－c22ab＝8－c24＝－12，∴c2＝10，∴c＝10，即AB＝10.三、解答题10．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C和C．[分析]已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况．或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A．[解析]解法1：∵B＝45°90°，且ba，∴问题有两解．由正弦定理，得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32，∴A＝60°或A＝120°.(1)当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22.(2)当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.解法2：由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB，即(2)2＝(3)2＋c2－23ccos45°，整理得c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22.又cosA＝b2＋c2－a22bc，①当a＝3，b＝2，c＝6－22时，由①可得cosA＝－12，故A＝120°；当a＝3，b＝2，c＝6＋22时，由①可得cosA＝12，故A＝60°.故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.一、选择题1．(文)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝73，则△ABC的面积为()A．74B．54C．72D．52[答案]A[解析]因为a、b、c成等比数列，所以b2＝aC．又b2＝a2＋c2－2accosB，a＋c＝3，tanB＝73，故得sinB＝74，cosB＝34，ac＝2.所以S△ABC＝12acsinB＝12×2×74＝74.(理)设△ABC的内角A，B，C，所对边的长分别为a，b，c若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝()A．π3B．2π3C．3π4D．5π6[答案]B[解析]本题考查了三角形的余弦定理、正弦定理．由3sinA＝5sinB得3a＝5b，又已知b＋c＝2A．∴a＝53b，c＝73b，cosC＝a2＋b2－c22ab＝53b2＋b2－73b22·53b·b＝－12.又∵0cπ，∴C＝23π.2．(文)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，2)D．(1,2)[答案]C[解析]由正弦定理得：ABsinC＝BCsinA，∴a＝2sinA．∵C＝60°，∴0°A120°.又∵△ABC有两个，∴asin60°3a，即3a2.(理)锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B＝2A，则ba的取值范围是()A．(－2,2)B．(0,2)C．(2，2)D．(2，3)[答案]D[解析]∵ba＝sinBsinA＝sin2AsinA＝2cosA，又△ABC是锐角三角形，∴B＝2A90°A＋2A90°∴30°A45°，则ba＝2cosA∈(2，3)，故选D．二、填空题3．(2014·北京高考)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝14，则c＝________；sinA＝________.[答案]2158[解析]本题考查了余弦定理，同角基本关系式及正弦定理．c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c＝2，∵cosC＝14，∴sinC＝154，由正弦定理得1sinA＝2154，∴sinA＝158.4．在△ABC中，已知(b＋c)(c＋a)(a＋b)＝，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinABC＝；④若b＋c＝8，则△ABC的面积为1532.其中正确结论的序号是________．[答案]②③[解析]由条件可设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，∴a＝72k，b＝52k，c＝32k.故①不正确；由余弦定理可得cosA＝－12，A＝120°，故②正确；由正弦定理得sinABC＝abc＝，故③正确；当b＋c＝4k＝8时，则k＝2，故三角形三边分别为7,5,3，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×5×3×sin120°＝1534，故④不正确．三、解答题5．(文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC．(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，C．[解析](1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC知3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC，3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－13，又A＋B＋C＝π，∴cosA＝－cos(B＋C)＝13.(2)由0Aπ及cosA＝13知sinA＝223，又S△ABC＝22，即12bcsinA＝22，∴bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，∴bc＝6b2＋c2＝13，∴b＝2c＝3或b＝3c＝2.(理)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知A＝π4，bsin(π4＋C)－csin(π4＋B)＝A．(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．[解析](1)由bsin(π4＋C)－csin(π4＋B)＝a，应用正弦定理，得sinBsin(π4＋C)－sinCsin(π4＋B)＝sinA，sinB(22sinC＋22cosC)－sinC(22sinB＋22cosB)＝22.整理得sinBcosC－cosBsinC＝1.即sin(B－C)＝1.由于0B，C34π，从而B－C＝π2.(2)B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8·sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.6．(文)(2014·山东高考)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知a＝3，cosA＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．[解析](1)∵cosA＝63.0Aπ.∴sinA＝33.又B＝A＋π2.∴sinB＝sin(A＋π2)＝cosA＝63.又a＝3.∴由正弦定理得．asinA＝bsinB，即333＝b63∴b＝32.(2)∵cosB＝cos(A＋π2)＝－sinA＝－33，∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×(－33)＋63×63＝13∴S△ABC＝12absinC＝12×3×32×13＝