北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形课件-第4章第2节

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第二节同角的三角函数基本关系式与诱导公式第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形考纲要求命题分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，tanx＝sinxcosx.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α，π2±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.从近三年的高考试题来看，同角关系式和诱导公式中的π±α，π2±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测2016年高考仍会将同角三角函数的基本关系和诱导公式作为基础内容，融于三角求值、化简及解三角形的考查中.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：___________________________.(2)商数关系：_______________________.sin2α＋cos2α＝1(α∈R)tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2．诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦____________________________________余弦____________________________________正切________________________口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限sinα－sinα－sinαsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanαtanα－tanα－tanα走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成________时原函数值的符号；±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．锐角走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213B．－513C．513D．1213[答案]A走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]本题考查了三角函数定义，同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1.∵α是第二象限角，∴cosα0，又∵sinα＝513，∴cosα＝－1－5132＝－1213.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2．(文)已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sinα＝()A．－1213B．1213C．±1213D．512[答案]A[解析]cos(α－π)＝－cosα＝－513，cosα＝513.sinα＝±1－cos2α＝±1213，∵α是第四象限角，∴sinα＝－1213.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(理)已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)＝()A．－1213B．1213C．±1213D．512[答案]A[解析]由cos(α－π)＝－513得，cosα＝513，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α＝－1213.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形3．(2014·全国大纲卷)设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．abcB．bcaC．cbaD．cab[答案]C[解析]本题考查了诱导公式、三角函数的单调性与单位圆中的三角函数线，因为c＝tan35°，由单位圆中的三角函数线可知cbA．三角函数的值的大小比较，要先运用诱导公式化为同名的同一单调区间上的函数，若存在弦函数和切函数时，用单位圆中的三角函数线比较大小．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形4．(文)已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于()A．15B．－15C．513D．－513[答案]D[解析]由tanα＝sinαcosα＝－512，sin2α＋cos2α＝1及α是第四象限角，解得sinα＝－513.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(理)已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1等于()A．65B．95C．43D．53[答案]B走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]解法1：由sinx＝2cosx得cosx＝12sinx，∴sin2x＋(12sinx)2＝1，解得sin2x＝45，∴sin2x＋1＝95.故选B．解法2：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形5．(2014·江苏，5)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φπ)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．[答案]π6[解析]本题考查三角函数的图像及求值问题．由题意cosπ3＝sin(2×π3＋φ)，即sin(2π3＋φ)＝12，2π3＋φ＝kπ＋(－1)k·π6，(k∈Z)，因为0≤φπ，所以φ＝π6.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形6．化简sinπ2＋α·cosπ2－αcosπ＋α＋sinπ－α·cosπ2＋αsinπ＋α＝_______.[答案]0[解析]原式＝cosα·sinα－cosα＋sinα·－sinα－sinα＝－sinα＋sinα＝0.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[思路分析](1)用条件将待求式弦化切，分子分母同除以cosα.或将式中的正弦用余弦代换，分子分母相抵消，达到求值的目的．(2)为达到利用条件tanα＝2的目的，将分母1变为sin2α＋cos2α，创造分母求值．同角三角函数的关系已知tanα＝2，求：(1)4sinα－2cosα5sinα＋3cosα的值；(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答](1)∵tanα＝2，∴cosα≠0，∴4sinα－2cosα5sinα＋3cosα＝4sinαcosα－2cosαcosα5sinαcosα＋3cosαcosα＝4tanα－25tanα＋3＝4×2－25×2＋3＝613.(2)3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝3sin2α＋3sinαcosα－2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋3tanα－2tan2α＋1＝3×22＋3×2－222＋1＝165.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[方法总结]1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα(α≠kπ＋π2，k∈Z)可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(1)若α∈(0，π2)，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A．22B．33C．2D．3[答案]D[解析]本题考查三角函数公式应用．sin2α＋cos2α＝sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝14，又∵α∈(0，π2)，∴cosα＝12，sinα＝32，∴tanα＝3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)(文)(2015·西安模拟)已知2tanα·sinα＝3，－π2α0，则sinα＝()A．32B．－32C．12D．－12[答案]B走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]由2tanα·sinα＝3得，2sin2αcosα＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，又－π2α0，解得cosα＝12(cosα＝－2舍去)，故sinα＝－32.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(理)(2015·长沙模拟)已知α∈(0，π2)且tan(α＋π4)＝3，则lg(sinα＋2cosα)－lg(3sinα＋cosα)＝________.[答案]B[解析]利用两角和的正切公式得tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝3，∴tanα＝12，lg(sinα＋2cosα)－lg(3sinα＋cosα)＝lgsinα＋2cosα3sinα＋cosα＝lg1＝0.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形诱导公式的应用(1)已知cos(π6＋α)＝33，求cos(5π6－α)的值；(2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan(α－72π)的值．[思路分析]已知条件或待求式比较复杂，需对比诱导公式寻找已知角和待求角之间的关系．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答](1)∵(π6＋α)＋(5π6－α)＝π，∴5π6－α＝π－(π6＋α)．∴cos(5π6－α)＝cos[π－(π6＋α)]＝－cos(π6＋α)＝－33，即cos(5π6－α)＝－33.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin(3π＋α)·tan(α－72π)＝sin(π＋α)·[－tan(72π－α)]＝sinα·tan(π2－α)＝sinα·sinπ2－αcosπ2－α＝sinα·cosαsinα＝cosα＝35.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[方法总结]1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．3．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(1)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α.[解析]原式＝tanα