北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形课件-第4章第3节

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第三节三角恒等变形第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形考纲要求命题分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变形.通过对近三年高考试题的分析可以看出，对本部分内容的考查，各种题型均可能出现，一般是基础题，难度不会太大，整个命题过程主要侧重以两角和与差的三角函数公式为基础，求三角函数的值或化简三角函数式．解答此类问题往往与两角和与差的三角公式二倍角及同角的三角函数关系式有关，但这类题目考查的重心是两角和与差的三角函数公式．预测2016年高考仍将坚持对三角恒等变形在角的变换、角的范围方面进行考查，对于两角和与差公式、二倍角公式将重点考查．难度为中低档题.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名公式两角和与差的正弦sin(α±β)＝_____________________两角和与差的余弦cos(α±β)＝_______________________两角和与差的正切tan(α±β)＝______________________sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2.二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝______________；C2α：cos2α＝___________＝__________＝__________；T2α：tan2α＝____________.2sinαcosαcos2αsin2α1－2sin2α2cos2α－12tanα1－tan2α走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形3．半角公式(1)用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2.sin2α2＝______；cos2α2＝______；tan2α2＝______.(2)用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.sinα2＝________；cosα2＝________；tanα2＝±1－cosα1＋cosα.1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα±1－cosα2±1＋cosα2走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(3)用sinα，cosα表示tanα2.tanα2＝________＝_________.4．升、降幂公式主要用于化简、求值和证明其形式为：升幂公式1＋cos2α＝______，1－cos2α＝______.降幂公式cos2α＝______，sin2α＝________.5．辅助角公式asinx＋bcosx＝________sin(x＋φ)．(其中tanφ＝ba)sinα1＋cosα1－cosαsinα2cos2α2sin2α1＋cos2α21－cos2α2a2＋b2走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.计算1－2sin222.5°的结果等于()A．12B．22C．33D．32[答案]B[解析]1－2sin222.5°＝cos45°＝22.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2．已知tanα＝－43，则tan(π4－α)的值为()A．－7B．7C．－17D．17[答案]A[解析]tan(π4－α)＝tanπ4－tanα1＋tanπ4·tanα＝1－－431＋－43＝－7.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形3．已知sinθ＝45，sinθ－cosθ1，则sin2θ＝()A．－2425B．－1225C．－45D．2425[答案]A[解析]由题意知cosθ0，又sinθ＝45，∴cosθ＝－35，故sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形4．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A．12B．33C．22D．32[答案]A[解析]原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形5．函数y＝sinx＋cosx－π6的最大值和最小值分别为________．[答案]3，－3[解析]y＝sinx＋cosxcosπ6＋sinxsinπ6＝32sinx＋32cosx＝3sinx＋π6.当x＝2kπ＋π3(k∈Z)时，ymax＝3；当x＝2kπ－2π3(k∈Z)时，ymin＝－3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形6．化简：cosπ3＋α＋sinπ6＋α＝________.[答案]cosα[解析]cosπ3＋α＋sinπ6＋α＝cosπ3cosα－sinπ3sinα＋sinπ6cosα＋cosπ6sinα＝12cosα－32sinα＋12cosα＋32sinα＝cosα.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形两角和与差的三角函数公式的基本应用(1)设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)若0απ2，－π2β0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝()A．33B．－33C．539D．－69[思路分析](1)应用根与系数的关系和两角和的正切公式求tan(α＋β)；(2)充分利用角之间的关系进行凑角，即α＋β2＝(π4＋α)－(π4－β2)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答](1)由已知得tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝31－2＝－3.故选A．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)∵(π4＋α)－(π4－β2)＝α＋β2，∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)∵0απ2，－π2β0，∴π4π4＋α3π4，π4π4－β2π2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形又cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，∴sin(π4＋α)＝223，sin(π4－β2)＝63.∴cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539，选C．[答案](1)A(2)C走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[方法总结]两角和与差的三角函数公式可看做是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2015·潍坊调研)设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是()A．sin(α＋β)sinα＋sinβB．cos(α＋β)cosαcosβC．sin(α＋β)sin(α－β)D．cos(α＋β)cos(α－β)[答案]C走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ0，故sin(α＋β)sin(α－β)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形两角和与差的三角函数公式的逆用与变形应用(1)已知sin(α＋π6)＋cosα＝453，则sin(α＋π3)的值为()A．45B．35C．32D．35走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)(2015·青岛模拟)若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于()A．14B．12C．4D．12[思路分析](1)利用两角和的公式进行化简．(2)对原式化简后进行适当的变形，注意两角差的正切公式的逆用．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答](1)由条件得32sinα＋32cosα＝453，即12sinα＋32cos＝45.∴sin(α＋π3)＝45.(2)由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，∵tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝4.[答案](1)A(2)C走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[方法总结]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能正确掌握公式的应用．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2015·威海模拟)在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，则C等于()A．π3B．2π3C．π6D．π4[答案]A走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]由tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A＋B)＝－tanC＝－3.所以tanC＝3，又0Cπ.所以C＝π3.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[思路分析]观察可见：有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等．三角函数式的化简与求值化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答]解法1：(从“角”入手，复角化单角)原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2co