北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形课件-第4章第6节

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第六节正弦定理和余弦定理第四章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形考纲要求命题分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.高考对本部分内容的考查主要涉及解三角形、三角形形状的判定、三角函数的求值以及三角恒等式的证明等问题．对正、余弦定理的考查主要以选择题、填空题形式出现，解答题则与三角变换相结合，直接在三角形中以处理边角关系的形式出现．预测2016年高考将以正弦定理、余弦定理的直接应用为主要考查目标，难度以中等难度题为主，在复习中应该加以重视.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容___________________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝______________b2＝______________c2＝______________asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝______，b＝______，c＝______；②sinA＝a2R，sinB＝______，sinC＝______③abc＝____________________；④a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝______.cosA＝_____________；cosB＝_____________；cosC＝______________.2RsinA2RsinB2RsinCb2Rc2RsinAsinBsinCasinAb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．③已知两边和其中一边的对角，解三角形.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAa＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形3.解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与C．在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C．在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求C．可有两解，一解或无解走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形1.(文)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A．15B．59C．53D．1[答案]B[解析]本题考查了正弦定理解三角形，由asinA＝bsinB知313＝5sinB，即sinB＝59，选B．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(理)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinA·sinB＋bcos2A＝2a，则ba＝()A．23B．22C．3D．2[答案]D[解析]∵asinAsinB＋bcos2A＝2a，∴sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA，∴sinB＝2sinA，∴ba＝sinBsinA＝2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形2．(文)(教材改编题)△ABC的边分别为a、b、c，且a＝1，c＝42，B＝45°，则△ABC的面积为()A．43B．5C．2D．62[答案]C[解析]S△ABC＝12acsinB＝12×1×42×sin45°＝2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(理)△ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有()A．1个B．2个C．3个D．0个[答案]B[解析]∵asinB＝102，∴asinBb＝3a＝5，符合条件的三角形有2个．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形3．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确[答案]B[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC.又∵acosA＝bcosB＝ccosC，∴tanA＝tanB＝tanC．又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，故选B．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形4．(文)(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A．－19B．13C．1D．72[答案]D走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]本题主要考查三角函数中的正弦定理，由正弦定理可得sinBsinA＝ba＝32，∴sinB＝32sinA，将其代入所求式子中，得2·32sinA2－sin2Asin2A＝92sin2A－sin2Asin2A＝72.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(理)(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B．932C．332D．33[答案]C走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[解析]本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a2＋b2－c2＝2ab－6，由余弦定理得a2＋b2－c2＝ab，∴ab＝6，∴S△＝12absinπ3＝12×6×32＝332.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，C．若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.[答案]2[解析]本题考查了余弦定理的应用由b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23×32＝4，可得b＝2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形6．△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.[答案]23[解析]由cosC＝13，得sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×b×223＝43.∴b＝23.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)若边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．[思路分析](1)由A，B，C成等差数列及三角形内角和定理求解cosB．(2)利用正弦定理把边关系转化为角关系及(1)题结论求解，也可利用余弦定理转化为求解边关系，利用特殊角求解．利用正弦定理和余弦定理解三角形走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答](1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝12.(2)方法一：由已知b2＝ac，及cosB＝12，根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以sinAsinC＝1－cos2B＝34.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形方法二：由已知b2＝ac及cosB＝12，根据余弦定理得cosB＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sinAsinC＝34.[方法总结]应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形已知在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，求三角形中的最大角及角C的正弦值．[解析]∵acb，∴角A为最大角，由余弦定理有cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°，∴sinA＝32，再根据正弦定理，有asinA＝csinC，∴sinC＝casinA＝57×32＝5314.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定[思路分析]所给条件为角的关系，可利用正弦定理转化为边的关系，再利用余弦定理进行判断．利用正、余弦定理判断三角形形状走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[规范解答]由正弦定理知asinA＝bsinB＝csinC＝2R，∴sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.∵sin2A＋sin2Bsin2C，∴a24R2＋b24R2c24R2，∴a2＋b2c2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab0，∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．[答案]C走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形[方法总结]判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变形得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(1)△ABC满足sinB＝cosAsinC，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形[答案]A[解析]∵sinB＝cosA·sinC，∴b＝b2＋c2－a22bc·C．∴b2＋a2＝c2.∴△ABC为直角三角形，选A．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形(2)在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若cosAcosB＝ab，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三