高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（北京卷·理科）（附答案，完全word版）

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集UR，集合|23Axx≤≤，|14Bxxx或，那么集合UABð等于（）A．|24xx≤B．|34xxx或≤≥C．|21xx≤D．|13xx≤≤2．若0.52a，πlog3b，22πlogsin5c，则（）A．abcB．bacC．cabD．bca3．“函数()()fxxR存在反函数”是“函数()fx在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若点P到直线1x的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．若实数xy，满足1000xyxyx，，，≥≥≤则23xyz的最小值是（）A．0B．1C．3D．96．已知数列na对任意的*pqN，满足pqpqaaa，且26a，那么10a等于（）A．165B．33C．30D．217．过直线yx上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线12ll，，当直线12ll，关于yx对称时，它们之间的夹角为（）A．30B．45C．60D．908．如图，动点P在正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BBDD的直线，与正方体表面相交于MN，．设BPx，MNy，则函数()yfx的图象大致是（）ABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．已知2()2aii，其中i是虚数单位，那么实数a．10．已知向量a与b的夹角为120，且4ab，那么(2)bab的值为．11．若231nxx展开式的各项系数之和为32，则n，其展开式中的常数项为．（用数字作答）12．如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))ff；0(1)(1)limxfxfx．（用数字作答）13．已知函数2()cosfxxx，对于ππ22，上的任意12xx，，有如下条件：①12xx；②2212xx；③12xx．其中能使12()()fxfx恒成立的条件序号是．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点()kkkPxy，处，其中11x，11y，当2k≥时，111215551255kkkkkkxxTTkkyyTT，．()Ta表示非负实数a的整数部分，例如(2.6)2T，(0.2)0T．2BCAyx1O34561234按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数2π()sin3sinsin2fxxxx（0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx在区间2π03，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列．ACBP18．（本小题共13分）已知函数22()(1)xbfxx，求导函数()fx，并确定()fx的单调区间．19．（本小题共14分）已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值．20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列12nAaaa：，，，，定义变换1T，1T将数列A变换成数列1()TA：12111nnaaa，，，，．对于每项均是非负整数的数列12mBbbb：，，，，定义变换2T，2T将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()TB；又定义2221212()2(2)mmSBbbmbbbb．设0A是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)kkATTAk，，，．（Ⅰ）如果数列0A为5，3，2，写出数列12AA，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明1(())()STASA；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A，存在正整数K，当kK≥时，1()()kkSASA．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D2．A3．B4．D5．B6．C7．C8．B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．110．011．51012．2213．②14．(12)，(3402)，三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（Ⅰ）1cos23()sin222xfxx311sin2cos2222xxπ1sin262x．因为函数()fx的最小正周期为π，且0，所以2ππ2，解得1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin262fxx．因为2π03x≤≤，所以ππ7π2666x≤≤，所以1πsin2126x≤≤，因此π130sin2622x≤≤，即()fx的取值范围为302，．16．（共14分）解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PDCD，．APBP，PDAB．ACBC，CDAB．PDCDD，ACBDPACBEPAB平面PCD．PC平面PCD，PCAB．（Ⅱ）ACBC，APBP，APCBPC△≌△．又PCAC，PCBC．又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC．取AP中点E．连结BECE，．ABBP，BEAP．EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．在BCE△中，90BCE，2BC，362BEAB，6sin3BCBECBE．二面角BAPC的大小为6arcsin3．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB平面PCD，平面APB平面PCD．过C作CHPD，垂足为H．平面APB平面PCDPD，CH平面APB．CH的长即为点C到平面APB的距离．由（Ⅰ）知PCAB，又PCAC，且ABACA，PC平面ABC．CD平面ABC，PCCD．在RtPCD△中，122CDAB，362PDPB，222PCPDCD．233PCCDCHPD．ACBDPH点C到平面APB的距离为233．解法二：（Ⅰ）ACBC，APBP，APCBPC△≌△．又PCAC，PCBC．ACBCC，PC平面ABC．AB平面ABC，PCAB．（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz．则(000)(020)(200)CAB，，，，，，，，．设(00)Pt，，．22PBAB，2t，(002)P，，．取AP中点E，连结BECE，．ACPC，ABBP，CEAP，BEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．(011)E，，，(011)EC，，，(211)EB，，，23cos326ECEBBECECEB．二面角BAPC的大小为3arccos3．（Ⅲ）ACBCPC，C在平面APB内的射影为正APB△的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系Cxyz．2BHHE，点H的坐标为222333，，．ACBPzxyHE233CH．点C到平面APB的距离为233．17．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件AE，那么3324541()40AAPECA，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么4424541()10APECA，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10PEPE．（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务，则235334541(2)4CAPCA．所以3(1)1(2)4PP，的分布列是13P341418．（共13分）解：242(1)(2)2(1)()(1)xxbxfxx3222(1)xbx32[(1)](1)xbx．令()0fx，得1xb．当11b，即2b时，()fx的变化情况如下表：x(1)b，1b(11)b，(1)，()fx0当11b，即2b时，()fx的变化情况如下表：x(1)，(11)b，1b(1)b，()fx0所以，当2b时，函数()fx在(1)b，上单调递减，在(11)b，上单调递增，在(1)，上单调递减．当2b时，函数()fx在(1)，上单调递减，在(11)b，上单调递增，在(1)b，上单调递减．当11b，即2b时，2()1fxx，所以函数()fx在(1)，上单调递减，在(1)，上单调递减．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为1yx．因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD．于是可设直线AC的方程为yxn．由2234xyyxn，得2246340xnxn．因为AC，在椭圆上，所以212640n，解得434333n．设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则1232nxx，212344nxx，11yxn，22yxn．所以122nyy．所以AC的中点坐标为344nn，．由四边形ABCD为菱形可知，点344nn，在直线1yx上，所以3144nn，解得2n．所以直线AC的方程为2yx，即20xy．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA．所以菱形ABCD的面积232SAC．由（Ⅰ）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234343(316)433Snn．所以当0n时，菱形ABCD的面积取得最大值43．20．（共13分）（Ⅰ）解：053