高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第1节-基础达标

第二章第一节一、选择题1．下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x[答案]C[解析]本题考查了代入法求函数解析式．f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足：f(2x)＝2f(x)得：A，B，D满足条件，故选C．代入法求函数解析式是最基本的求解析式的方法．2．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是()A．y＝|x|x与y＝1B．y＝xx与y＝x0C．y＝|x－1|与y＝x－1x11－xx1D．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1[答案]B[解析]当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B，A中第一个函数x≠0，第二个函数x∈R，C中第二函数x≠1，第一个函数x∈R，D当x0时，第一个函数为y＝－2x＋1，显然与第二函数不是同一函数．(理)下列四组函数，表示同一函数的是()A．f(x)＝logaax，g(x)＝alogax(a0，a≠1)B．f(x)＝(x)2，g(x)＝3x3C．f(x)＝2x－1(x∈R)，g(x)＝2x－1(x∈Z)D．f(x)＝x2－4x－2，g(t)＝t2－4t－2[答案]D[解析]选项A、B、C中函数的定义域不同．3．设函数f(x)＝－x，x≤0x2，x0，若f(α)＝4，则实数α＝()A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2[答案]B[解析]本题主要考查分段函数求函数值等基础知识．当α≤0时，f(α)＝－α＝4，∴α＝－4；当α0时，f(α)＝α2＝4，∴α＝2.综上可得：α＝－4或2，选B．4．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1)B．(－1，－12)C．(－1,0)D．(12，1)[答案]B[解析]本题考查复合函数定义域的求法．f(x)的定义域为(－1,0)∴－12x＋10，∴－1x－12.5．(2014·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A．c≤3B．3c≤6C．6c≤9D．c9[答案]C[解析]∵f(－1)＝f(－2)＝f(－3)－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，解得a＝6，b＝11.∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，又∵0f(－1)≤3，∴0c－6≤3，∴6c≤9，选C．6．在给定的映射f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)作用下，点(16，－16)的原像是()A．(16，－136)B．(13，－12)或(－14，23)C．(136，－16)D．(12，－13)或(－23，14)[答案]B[解析]由已知得：2x＋y＝16xy＝－16解方程组得x＝13y＝－12或x＝－14y＝23故选B．二、填空题7．函数y＝16－x－x2的定义域是________．[答案]{x|－3x2}[解析]要使函数有意义，只需6－x－x20，∴x2＋x－60.∴－3x2，∴f(x)的定义域为{x|－3x2}．8．图中的图像所表示的函数的解析式f(x)＝________.[答案]f(x)＝32x，0≤x≤13－32x，1≤x≤2[解析]由图像知每段为线段．设f(x)＝ax＋b，把(0,0)，(1，32)和(1，32)，(2,0)分别代入求解a＝32，b＝0，a＝－32，b＝3.9．已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出x123f(x)132x123g(x)321则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]g[f(x)]的x的值是________．[答案]22[解析]f[g(1)]＝f(3)＝2.x123f[g(x)]231g[f(x)]312故f[g(x)]g[f(x)]的解为x＝2.三、解答题10．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝x2，x≥0－1，x0，求f(g(x))和g(f(x))的解析式．[解析]当x≥0时，g(x)＝x2，f(g(x))＝2x2－1；当x0时，g(x)＝－1，f(g(x))＝－2－1＝－3；∴f(g(x))＝2x2－1，x≥0，－3，x0.又∵当2x－1≥0，即x≥12时，g(f(x))＝(2x－1)2；当2x－10，即x12时，g(f(x))＝－1；∴g(f(x))＝2x－12，x≥12，－1，x12.一、选择题1．函数f(x)＝xmx＋n(m，n为常数，且m≠0)满足f(1)＝12，f(x)＝x有唯一解，则f(x)＝()A．xx＋1B．x3x－1C．2x3x＋1D．2x3x－1[答案]A[解析]由f(1)＝12可得1m＋n＝12，即m＋n＝2，由f(x)＝x有唯一解可得x(mx＋n－1mx＋n)＝0有唯一解，得x＝1－nm＝0，得n＝1，综上得m＝1，n＝1，故f(x)＝xx＋1.2．(改编题)设f(x)＝1＋x1－x，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2015(x)＝()A．1＋x1－xB．x－1x＋1C．xD．－1x[答案]B[解析]由已知条件得到f2(x)＝f[f1(x)]＝1＋f1x1－f1x＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x＝－1x，f3(x)＝f[f2(x)]＝1＋f2x1－f2x＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，f4(x)＝f[f3(x)]＝1＋f3x1－f3x＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5(x)＝f[f4(x)]＝1＋x1－x，易知fn(x)是以4为周期的函数，而2015＝503×4＋3，所以f2015(x)＝f3(x)＝x－1x＋1.二、填空题3．(2014·新课标Ⅰ)设函数f(x)＝ex－1，x1，x13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．[答案]x≤8[解析]当x1时，ex－11，则ex－1≤2，∴x1成立．当x≥1时，x13≤2，则x≤8.∴1≤x≤8.综上，x≤8.4．(文)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)[答案]②③④[解析]该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义．由x21＝x22，未必有x1＝x2，故①不正确；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②正确；当f(x)为单函数时，有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，则其逆否命题f(x)为单函数时，x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，故④正确．(理)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原像；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)[答案]②③[解析]当f(x)＝x2时，不妨设f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，故②正确；若b∈B，b有两个原像时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题5．求下列函数的定义域：(1)y＝25－x2＋lgcosx；(2)y＝log12x2－1；(3)y＝lg1－1x.[解析](1)由25－x2≥0，cosx0，得－5≤x≤5，2kπ－π2x2kπ＋π2k∈Z.∴函数的定义域为－5，－32π∪－π2，π2∪3π2，5.(2)由log12(x2－1)≥0，得0x2－1≤1，∴－2≤x－1或1x≤2.∴函数的定义域为{x|－2≤x－1或1x≤2}．(3)由1－1x0，得x1或x0，∴函数的定义域为{x|x1或x0}．6．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．(1)求f(x)和g(x)的解析式；(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．[解析](1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a0)．f(x)图像的对称轴是x＝－1，∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.∵函数g(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；②当λ－1时，h(x)图像对称轴是x＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ－1，解得λ－1；③当λ－1时，同理需λ－1λ＋1≤－1，又λ－1，解得－1λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．