高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第5节-基础达标

第二章第五节一、选择题1．(文)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝(12)x的图像之间的关系是()A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[答案]A[解析]∵y＝(12)x＝2－x，∴它与函数y＝2x的图像关于y轴对称．(理)(2015·东营质检)函数y＝3x与y＝－3－x的图像的对称图形为()A．x轴B．y轴C．直线y＝xD．原点[答案]D[解析]由y＝－3－x得－y＝3－x，(x，y)→(－x，－y)，即关于原点中心对称．2．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a0且a≠1[答案]C[解析]由已知，得a2－3a＋3＝1，a0且a≠1，即a2－3a＋2＝0a0且a≠1.∴a＝2.3．(文)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12－1.5，则()A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y2[答案]D[解析]y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在R上是单调递增函数，∴y1y3y2.(理)设函数f(x)＝a－|x|(a0，且a≠1)，f(2)＝4，则()A．f(－2)f(－1)B．f(－1)f(－2)C．f(1)f(2)D．f(－2)f(2)[答案]A[解析]∵f(x)＝a－|x|(a0，且a≠1)，f(2)＝4，∴a－2＝4，∴a＝12，∴f(x)＝(12)－|x|＝2|x|，∴f(－2)f(－1)，故选A．4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][答案]B[解析]∵f(1)＝19，∴a2＝19，∵a0且a≠1，∴a＝13，∴f(x)＝(13)|2x－4|，∵t＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝(13)t为减函数，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减．5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝()A．5B．7C．9D．11[答案]B[解析]∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a)2＋(2－a)2＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.6．(文)给出下列结论：①当a0时，(a2)32＝a3；②nan＝|a|(n1，n∈N＋，n为偶数)；③函数f(x)＝(x－2)12－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠73}；④若2x＝16,3y＝127，则x＋y＝7.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②④[答案]B[解析]∵a0时，(a2)320，a30，∴①错；②显然正确；解x－2≥03x－7≠0，得x≥2且x≠73，∴③正确，∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝127＝3－3，∴y＝－3，∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错．(理)已知实数a、b满足等式12a＝13b，下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝B．其中不可能．．．成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]作y＝13x，y＝12x的图像，如图当x0时，12a＝13b，则有ab0；当x0时，12a＝13b，则有0ba；当x＝0时，12a＝13b，则有a＝b＝0.故不可能成立的是③④.二、填空题7．(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0＝________.[答案]－19[解析]原式＝(1500)－12－105－2＋1＝50012－10(5＋2)＋1＝105－105－20＋1＝－19.8．(2015·襄樊调研)已知集合P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝ax＋1，a0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是________．[答案](1，＋∞)[解析]如果P∩Q有且只有一个元素，即函数y＝m与y＝ax＋1(a0，且a≠1)图像只有一个公共点．∵y＝ax＋11，∴m1.∴m的取值范围是(1，＋∞)．9．若函数f(x)＝ax－1(a0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a＝________.[答案]3[解析]当a1时，f(x)为增函数，则f0＝0，f2＝2，即a0－1＝0，a2－1＝2，∴a＝3.当0a1时，f(x)为减函数，∴f0＝2，f2＝0，∴a0－1＝2，a2－1＝0无解．综上，a＝3.三、解答题10．(文)设a是实数，f(x)＝a－22x＋1(x∈R)．(1)证明：对于任意实数a，f(x)在R上为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．[解析](1)证明：设x1，x2∈R，x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(a－22x1＋1)－(a－22x2＋1)＝22x2＋1－22x1＋1＝22x1－2x22x1＋12x2＋1.又由指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1x2，所以2x12x2，即2x1－2x20，又由2x0，得2x1＋10,2x2＋10，所以，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)在R上为增函数．(2)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－(a－22x＋1)，变形得2a＝2·2x2－x＋1·2x＋22x＋1＝22x＋12x＋1，解得a＝1.所以当a＝1时，f(x)为奇函数．(理)设a0，f(x)＝exa＋aex是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解方程f(x)＝2.[解析](1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即e－xa＋ae－x＝exa＋aex恒成立．整理，得(a2－1)(e2x－1)＝0对任意实数x恒成立，故a2－1＝0.又∵a0，∴a＝1.(2)证明：在(0，＋∞)任意取x1，x2，设0x1x2，f(x1)－f(x2)＝ex2－ex1＋1ex1－1ex2＝(ex2－ex1)1ex1＋x2－1＝ex1(ex2－x1－1)·1－ex2＋x1ex2＋x1，由x10，x20，x2－x10，得x1＋x20，ex2－x1－10,1－ex2＋x10，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由f(x)＝2，得ex＋1ex＝2，即e2x－2ex＋1＝0.∴ex＝1＝e0.∴x＝0.故方程f(x)＝2的根为x＝0.一、选择题1．已知一元二次不等式f(x)0的解集为{x|x－1或x12}，则f(10x)0的解集为()A．{x|x－1或x－lg2}B．{x|－1x－lg2}C．{x|x－lg2}D．{x|x－lg2}[答案]D[解析]由条件知f(x)0的解集为{x|－1x12}，又已知f(10x)0，∴－110x12，∴x－lg2.2．(2015·忻州联考)已知a0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时均有f(x)12，则实数a的取值范围是()A．(0，12)∪[2，＋∞)B．[14，1)∪(1,4]C．[12，1)∪(1,2]D．(0，14)∪[4，＋∞)[答案]C[解析]由x2－ax12得axx2－12，设函数y1＝ax，y2＝x2－12，分别作出它们的图像，如图，由图易知，当0a1时，若x∈(－1,1)时均有axx2－12，则x＝1时，a1≥12－12＝12，反之亦成立，同理，a1时，可得1a≤2.二、填空题3．(文)已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为________．[答案]mn[解析]a＝5－12∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减，由f(m)f(n)得mn.(理)已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为________．[答案]mn[解析]∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)f(n)得mn.4．(文)若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．[答案](1，＋∞)[解析]令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若0a1，显然y＝ax与y＝x＋a的图像只有一个公共点；若a1，y＝ax与y＝x＋a的图像如图所示．(理)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．[答案]0，12[解析]数形结合．由图可知02a1，∴0a12.三、解答题5．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围.[分析](1)fx为奇函数→f0＝0且f－1＝－f1→a，b的值.(2)由1判断fx的单调性→利用奇偶性将原不等式转化为两函数值大小关系→利用单调性得关于t的不等式→k的范围[解析](1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a，b的值分别为2,1.(2)解法1：由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0，等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k0.从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.解法2：由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2，又由题设条件得－2t2－2t＋12t2－2t＋1＋2＋－22t2－k＋122t2－k＋1＋20，即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)0.整理得23t2－2t－k1，因底数21，故3t2－2t－k0.上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.6．已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．(1)求函数g(x)的解析式；(2)判断g(x)的单调性；(3)若方程g(x)＝m有解，求m的取值范围．[解析](1)因为f(a＋2)＝18，f(x)＝3x，所以3a＋2＝18⇒3a＝2，所以g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x，x∈[－1,1]．(2)g(x)＝－(2x)2＋2x＝－2x－122＋14.当x∈[－1,1]时，2x∈12，2，令t＝2x，所以y＝－t2＋t＝－t－122＋14.故当t∈12，2时，y＝－t2＋t＝－t－122＋14是减少的，又t＝2x在[－1,1]上是增加的，所以g(x)在[－1,1]上是减少的．(3)因为方程g(x)＝m有解，即m＝2x－4x在[－1,1]内有解．由(2)知g(x)＝2x－4x在[－1,1]上是减少的，所以－2≤m≤14，故m的取值范围是－2，14.