正项级数敛散性判别法的比较及其应用(毕业论文)

目录摘要……………………………………………………………………………………1关键词…………………………………………………………………………………1Abstract………………………………………………………………………………1Keywords……………………………………………………………………………1引言………………………………………………………………………11正项级数相关概念…………………………………………………………………21.1正项级数的定义…………………………………………………………………21.2正项级数敛散性判别的充要条件………………………………………………22正项级数敛散性判别法…………………………………………………………22.1判别级数发散的简单方法………………………………………………………22.2比较判别法……………………………………………………………………32.2.1定理及其极限形式……………………………………………………………32.2.2活用比较判别法………………………………………………………………32.3柯西判别法…………………………………………………………………42.3.1定理及其极限形式…………………………………………………………42.3.2活用柯西判别法……………………………………………………………52.4达朗贝尔判别法…………………………………………………………………52.4.1定理及其极限形式……………………………………………………………52.4.2活用达朗贝尔判别法…………………………………………………………62.5积分判别法…………………………………………………………………62.5.1定理…………………………………………………………………62．5.2活用积分判别法………………………………………………………………62.6拉贝判别法……………………………………………………………………62.6.1定理及其极限形式……………………………………………………………72.6.2活用拉贝判别法………………………………………………………………72.7其他判别法……………………………………………………………………83判别方法的比较…………………………………………………………………93.1不同方法的比较及应用………………………………………………………103.2判别正项级数敛散性方法的总结……………………………………………11致谢…………………………………………………………………………………12参考文献……………………………………………………………………………121正项级数敛散性判别法的比较及其应用数学与应用数学xx指导教师xx摘要：正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍.关键词：正项级数；收敛；方法；比较；应用PositiveSeriesConvergenceCriterionofComparisonandItsApplicationMathematicsandAppliedMathematicsLiQinglinTutorLiPingrunAbstract：Positiveseriesisaseriesofimportanttheoreticalcomponentanditsconvergenceisthecoreissueofseriestheory.Althoughpositiveseriesconvergencejudgmentmethodsmore,therestillhavetousetheskills,summarizedconvergenceofpositiveseriestodeterminesomeofthetypicalmethodtocomparethedifferentcharacteristicsofthesemethods,summedupthetypicalpositiveseries,accordingtothecharacteristicsofdifferentsubjectanalysistodeterminetochoosesuitablemethodstojudge,tomaximizesavingsintimeandincreaseefficiency.Keywords:positiveseries;convergence;methods;compare；application引言我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?这就是本文所要讨论的.1正项级数相关概念1.1正项级数的定义如果级数1nnx的各项都是非负实数，即0,1,2,,nxn则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件2正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1正项级数1nnu收敛它的部分和数列ns有上界.证明由于),2,1(0iui,所以ns是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例级数221ln(1)(1)nnnnnn是正项级数。它的部分和数列的通项21122112lnlnlnln2lnln2(1)(1)11nnnkkkkkknskkkknk，所以正项级数221ln(1)(1)nnnnnn收敛。2正项级数敛散性判别法2．1判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数1nnu收敛,,,,0NpNnNN有pnnnuuu21.取特殊的1p,可得推论:若级数1nnu收敛,则0limnnu.定理2该推论的逆否命题:若0limnnu,则级数1nnu发散.例1快速判断级数12215nnn的敛散性.解:由于05115lim22nnn,从而根据定理2可知,该级数发散.如果0limnnu,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;如果0limnnu,则不能判断级数是否收敛,因为存在级数满足0limnnu的发散级数，如11nn；也存在级数满足0limnnu的收敛级数，如121nn.显然该逆否命题只使3用于满足0limnnu的发散级数.2．2比较判别法2．2．1定理及其极限形式定理3(比较判别法)有两个正项级数1nnu与1nnv,且NnNN,,有nncvu,c是正常数.1）若级数1nnv收敛,则级数1nnu也收敛;2）若级数1nnu发散,则级数1nnv也发散.比较判别法的极限形式有两个正项级数1nnu与)0(1nnnvv,且kvunnnlim).0(k1）若级数1nnv收敛,且k0,则级数1nnu也收敛;2）若级数1nnv发散,且k0,则级数1nnu也发散.2．2．2活用比较判别法(1)当所求级数的通项中出现关于n的有理式时,比较对象常常选取p-级数或调和级数.例1判别级数1)1(1nnn的敛散性.解:因为21)1(1nnn（分母缩小,分数放大）,又由于121nn收敛.则由此比较判别法,原级数1)1(1nnn也收敛.(2)当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象.例2判别级数nnn3sin21的敛散性.分析:考虑当0x时,xxsin,则nnnnnnn)32(323sin2,33sin,4而nn)32(1是公比132||q的收敛级数,故原级数收敛.(3)当所求级数的通项放大、缩小不方便时,可采用比较判别法的推论.例3判别级数12114nnn的敛散性.解:由于414lim]1114[lim222nnnnnnnn,又因为11nn是发散的,则原级数也发散.2．3柯西判别法(根值判别法)2．3．1定理及其极限形式定理4(柯西判别法)有正项级数1nnu)0(nu,存在常数q.1）若NnNN,,有1qunn,则级数1nnu收敛;2）若存在无限个n,有1nnu,则级数1nnu发散.证明1）已知,,NnNN有qunn或nnqu.又已知几何级数)10(0qqnn收敛,于是级数1nnu收敛.2）已知存在无限个n,有1nnu或1nu,即nu不趋近于)(0n,于是级数1nnu发散.根值判别法的极限形式有正项级数1nnu,若lunnnlim,则1）当1l时,级数1nnu收敛;2）当1l时,级数1nnu发散.2．3．2活用柯西判别法例1判别级数nnnn)12(1的敛散性.5解:由于12112lim)12(limlimnnnnunnnnnnn,根据柯西判别法的推论,可得级数nnnn)12(1收敛.例2判别级数1ln32nnn的敛散性。解:由于123232lim32limlim0lnlnnnnnnnnnnnu,所以根据柯西判别法的推论知,级数1ln32nnn发散.2．4达朗贝尔判别法(比值判别法)2．4．1定理及其极限形式定理5(达朗贝尔判别法)有正项级数)0(1nnnuu,存在常数q.1）若NnNN,,有11quunn,则级数1nnu收敛;2）若NnNN,,有11nnuu,则级数1nnu发散.比值判别法的极限形式有正项级数)0(1nnnuu,且.lim1luunnn1）当1l时,级数1nnu收敛;2）当1l时,级数1nnu发散.2．4．2活用达朗贝尔判别法例1判别级数1!nnnn的敛散性.解:由于11])11(1[lim)1(lim]!)1()!1([limlim11ennnnnnnuunnnnnnnnnn,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数1!nnnn收敛.6例2判别级数155nnn的敛散性.解:由于15)1(5lim]5)1(5[limlim55511nnnnuunnnnnnn,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数155nnn发散.2．5积分判别法2．5．1定理(积分判别法)设f为],1[上非负减函数,那么正项级数)(nf与反常积分同时收敛或同时发散.2．5．2活用积分判别法例1判别级数131nn的敛散性.解:将原级数131nn换成积分形式dxx131,由于21210)21()21(lim21121213pxdxxp,即dxx131收敛,根据积分判别法可知,级数131nn也收敛.例2证明调和级数11nn发散.解:将原级数11nn换成积分形式dxx11,由于0ln111xdxx,即dxx11发散,根据积分判别法可知,调和级数11n