中考数学经典压轴题大集合(二)(含解答)-

-1-中考数学压轴题大集合（二）17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.（1）求点C的坐标；（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段．．BE上有一点P，使得AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；（3）在直线．．BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.[解]（1）C（5，-4）；（2）能。连结AE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°.在△ABE与△PBA中，AB2＝BP·BE,即ABBEBPAB,又∠ABE=∠PBA,∴△ABE∽△PBA.∴∠BPA=∠BAE=90°,即AP⊥BE.（3）分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ2＝BQ·EQ.Q点位置有三种情况：①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q；②若无两条等长，且点Q在线段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足；③若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切⊙C于点A.设Q()(,tyt),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.解题过程：①当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E,显然有AQ12＝BQ1·EQ1,∴Q1(5,-4)符合题意；②当Q2点在线段EB上，∵△ABE中，∠BAE=90°∴点Q2为AQ2在BE上的垂足，∴AQ2=1048BEAEAB=4.8（或524）.∴Q2点的横坐标是2+AQ2·cos∠BAQ2=2+3.84=5.84,-2-又由AQ2·sin∠BAQ2=2.88,∴点Q2（5.84，-2.88）,257225146，或③方法一：若符合题意的点Q3在线段EB外,则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.由Rt△Q3BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t,由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得ABRQEAAR3，即64836tt得t=718，〖注:此处也可由433AEBtgARQtg列得方程43634tt；或由AQ32=Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程226345105tttt)等等〗∴Q3点的横坐标为8+3t=7110，Q3点的纵坐标为772，即Q3（7110，772）.方法二：如上所设与添辅助线,直线BE过B(8,0),C(5,-4),∴直线BE的解析式是33234xy.设Q3（t，33234t）,过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,∵易证∠Q3AR=∠AEB得Rt△AQ3R∽Rt△EAB,∴EAABARRQ3,即86233234tt,∴t=7110,进而点Q3的纵坐标为772，∴Q3（7110，772）.方法三：若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交y轴于F,∴∠Q3AB=∠Q3EA，433AEBtgABQtgOAFtg,在Rt△OAF中有OF=2×43=23，点F的坐标为（0，23）,∴可得直线AF的解析式为2343xy,-3-又直线BE的解析式是33234xy,∴可得交点Q3（7110，772）.18.（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y轴对称，顶点C坐标为（0，h）(h0)，交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d0）。（1）求抛物线解析式（用h、d表示）；（2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。(i)求拉杆⑤DE的长度；(ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗？(只需写结论)（3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0≤k≤1），GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，tg∠FOG=tg∠CAO？此时点G与OA线段有什么关系？[解]（1）用顶点式，据题意设y=ax2+h代入A（d，0）得a=2dh∴y=2dhx2+h(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=29dx2+9据题意OE=32d，设D（32d，yD）点D在抛物线上，yD=29d(32d)2+9=5，∴DE=5米。(ii)拉杆⑤DE的长度不变。（3）OG=kd，∴点F坐标可设（kd，yF）代入y=2dhx2+h，得：yF=h(1－k2)tg∠FOG=tg∠CAO，kdkh)1(2=dh112kk012kk解得2151k2152k（∵0k1，舍）215k，此时点G是线段OA的黄金分割点。19.（2006上海金山）已知：抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，3316）FGxyCBOA图4-4-（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作/P，折痕为EF，设A/P=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当点/P在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EF/P的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点/P的坐标；若不能，请你说明理由。[解]（1）设)8)(2(xxay把)3316,0(代入得33a∴)8)(2(33xxy即33163310332xxy（2）顶点P（)33,5AP=AB=BP=6∴0'60PAP作APGP'于G，则xAG21，xGP23'又yPEEP'，yxEG216在EGPRt'中，222)216()23(yyxx∴)60(123662xxxxy（3）若xEP'轴则xy26xxxx2123666236121x，36122x（舍去）∴)0,3614('PCO-5-若xFP'轴则xy216xxxx2112366626363x，6364x（舍去）∴)0,436('P若xEF轴，显然不可能。∴)0,3614('P或)0,436('P20.（2006湖北十堰）已知抛物线1C：22yxmxn（m，n为常数，且0m≠，0n）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线2C与抛物线1C关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．注：抛物线20yaxbxca≠的顶点坐标为2424bacbaa，．（1）请在横线上直接写出抛物线2C的解析式：________________________；（2）当1m时，判定ABC△的形状，并说明理由；（3）抛物线1C上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．[解]（1）22yxmxn．（2）当1m时，ABC△为等腰直角三角形．·································3分理由如下：如图：点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，ACBC．过点A作抛物线1C的对称轴交x轴于D，过点C作CEAD于E．当1m时，顶点A的坐标为11An，，1CE．又点C的坐标为0n，，11AEnn．AECE．从而45ECA∠，45ACy∠．由对称性知45BCyACy∠∠，90ACB∠．ABC△为等腰直角三角形．（3）假设抛物线1C上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PCABBC．xyO-6-由（2）知，ACBC，ABBCAC．从而ABC△为等边三角形．30ACyBCy∠∠．四边形ABCP为菱形，且点P在1C上，点P与点C关于AD对称．PC与AD的交点也为点E，因此903060ACE∠．点AC，的坐标分别为20AmmnCn，，，，22AEmnnmCEm，．在RtACE△中，2tan603AEmCEm．3m，3m．故抛物线1C上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时3m．21.（2006湖北宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点(n＜0）以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE．过点A的直线y＝kx＋m交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M．(1)求k的值；(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．[解]（1）根据题意得到：E（3n，0），G（n，－n）当x＝0时，y＝kx＋m＝m，∴点F坐标为（0，m）∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2，∵FB＝AF，∴m2＋n2＝(-2n－m)2，化简得：m＝－0.75n，对于y＝kx＋m，当x＝n时，y＝0，∴0＝kn－0.75n，∴k＝0.75yyxOMHGFEDCBA-7-（2）∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G，∴ccnbanncnban75.039022解得：a＝n41，b＝－21，c＝－0.75n∴抛物线为y=n41x2－21x－0.75n解方程组：nxynxxny75.075.075.021412得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n∴H坐标是：（5n，3n），HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n，∴△AMH的面积＝0.5×HM×AM＝6n2；而矩形AOBC的面积＝2n2，∴△AMH的面积∶矩形AOBC的面积＝3:1，不随着点A的位置的改变而改变．22.（2005黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ACO=34，点P在线段OC上，且PO、PC的长(POPC)是关于x的方程x2-(2k+4)x+8k=O的两根．(1)求AC、BC的长；(2)求P点坐标；(3)在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．[解](1)∵∠ACB=900，CO⊥AB，∴∠ACO=∠ABC．∴tan∠ABC=34，Rt△ABC中，设AC=3a，BC=4a则AB=5a，5a=25∴a=5∴AC=15，BC=20(2)∵S△ABC=12AC·BC=12OC·AB，∴OC=12∴PO+PC=4+2k=12．∴k=4∴方程可化为x2-12x+32=O．解得x1=4，x2=8∵POPC．∴PO=4．∴P(O，-4)(3)存在，直线PQ解析式为：y=-43x-4或y=-427-423.（2006黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0AOB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．(1)求点C的坐标；(2)求直线AD的解析式；-8-(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．[解](1)OA=6，OB=12点C是线段AB的中点，OC=AC作CE⊥x轴于点E．∴OE=12OA=3，CE=12OB=6．∴点C的坐标为(3，6)(2)作DF⊥x轴于点F△OFD∽△OEC，ODOC=23，于是可求得OF=2，DF=4．∴点D的坐标为(2，4)设直线AD的解析式为y=kx+b．把A(6，0)，D(2，4)代人得6024kbkb解得16kb∴直线AD的解析式为y=-x+6(3)存在．Q1(-32，32)Q2(32，-32)Q3(3，-3)Q4(6，6)二、函数与方程综合的压轴题1.（2004江苏宿迁）已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，