双生子佯谬(精)

双生子佯谬1．双生子问题的由来狭义相对论指出运动时钟变慢。用静止惯性系S系的两个时钟与做匀速直线运动的时钟对表，发现运动时钟变慢，随时钟一起运动的人的生命节奏同样也变慢了。这是一种运动效应。运动是相对的，运动效应也是相对的。在运动时钟所在的参考系S'系观测，S系也做匀速直线运动。在S'系中用两个时钟与S系的一个时钟对表，发现运动时钟——S系的时钟—变慢，S系中生活的人的生命节奏也同样变慢了，这就是说不同惯性系的时钟的快慢是相对的。这个结果符合相对性原理。我们知道，两只钟对一次表，两只钟的读数可能不同，但不能由此判定哪只钟走得快。两只钟必须先后对两次表才能确切地判定到底是哪只钟走得快。然而S系的一只钟与S'系的一只钟只可能相遇一次，因此实际上并不存在直接判定两系时钟到底谁快的机会，也就不存在绝对的谁快谁慢的问题。上述“不同惯性系的时钟的快慢是相对的”结论也就不会造成矛盾。但是，如果我们想办法让S'系的时钟过一段时间再返回来与S系时钟第二次对表，或者更形象地，让双生子之一甲留在S系，乙出游一段时间后回来与甲重逢，那么哪只钟快哪只钟慢，或者甲乙谁年轻就是不能回避的问题，也就是著名的双生子问题，一般称为双生子佯谬（twinparadox）或时钟佯谬（clockparadox）。这个问题的结论是：乙比甲年轻。因为乙要去而复返，必须经历变速过程，也就是说，他不能始终保持在一个惯性系中，所以他的地位与甲不平等，造成他实际上的年轻。从甲的立场讨论并计算乙的年轻并不困难，即使乙做变速运动，他的时钟相对S系时钟变慢的的比例仍然只取决于他相对S系的瞬时速度（爱因斯坦假设）。困难在于还要以乙的立场讨论并计算，计算结果必须与甲的立场的计算结果相同。这是相对性原理的要求，也是对相对论时空观的考验。下面会看到，当乙做变速运动时，从S'系看甲在运动，此时运动效应仍然存在，运动效应使甲的时钟比S'系同一地点的时钟慢，造成乙比甲年轻的因素是同时存在的引力效应。乙出外游历的方式多种多样。为了可以用狭义相对论讨论，我们假设乙直线去、回。2．狭义相对论的讨论爱因斯坦在1905年论文中首次阐明，若乙以v=0.8c的速度飞向8光年远的天体，到达后立刻以原速v返回与甲重逢，这期间甲过了20年乙过了12年，乙比甲年轻8岁。1918年爱因斯坦著文以问答的方式说明，双生子问题的关键是乙在往返过程中必须有的加速阶段的作用。1939年和1957年——1959年期间对双生子问题都有一番争论。现有的一些大学物理教材处理双生子问题的方法都是采用的爱因斯坦例子，在狭义相对论的范畴内讨论。设甲静止在惯性系S系，乙前往天体时为惯性系S'系，返回时为惯性系S''系。相对S系，S'和S''系的速率都是v=0.8c，常数1/2221/5/3vc。2．1甲的立场甲的立场，指甲作为观察者讨论问题，他自己和地球、天体都保持不动，乙去而复回。在甲所在的S系讨论，距离Δx=0.8l.y（l.y——光年），v=0.8c，所以单程时间为Δt1=Δx/v=10y于是，在S系测量乙往返所用时间Δt=2Δt1=20y。因此在乙往返期间，甲度过了20年。乙度过的时间可以用洛仑兹变换讨论。S'系用同一个时钟计时，因此时间间隔Δt1'是原时，S系的时间间隔Δt1为非原时。所以11'/6ttyS''系的情况与之类似。于是，在S'系S''系测量乙往返所用总的时间（也就是用乙所携带的时钟测量的时间）Δt'=2t1'=12y。因此在乙往返期间，乙度过了12年。总结上述结果：在惯性系中，若乙直线匀速往返，往返速度皆为v，忽略乙换参考系（由v换成-v）的时间，单程乙计时为Δt1'，往返过程乙计时为Δt'，则单程甲计时为11122''1/tttvc（1）往返过程甲计时为122'2'1/ttttvc（2）2．2乙的立场从乙的角度讨论问题，认为乙自己不动，甲和地球、天体保持相对静止，一起反方向以v运动，先是地球飞走天体飞来，然后天体再飞走地球又飞回。见图1和图2。乙先处于S'系。在S'系观察，天体以v=0.8c飞来，飞行距离Δx'为动长，S系中距离Δx为静长，于是'/xx，所用时间为11''///6txvxvty然后乙换到S''系。在S'系观察，地球以v=0.8c飞来，飞行距离Δx''=Δx'，所用时间Δt2''=Δt1'。于是用乙所携带的时钟测量的总时间为Δt'=2Δt1'=12y。此结果与甲立场讨论的结果相同。从S'系分析S系的时钟。在S'系同时的两事件，在S系不同时。天体在S'系的坐标比地球的坐标大'/xx，由洛仑兹坐标变换式2''/ttuxc，在S'系的同一时刻，天体与地球的时间差22'//6.4ttvxcvxcy天地设地球离开时t=t'=0，则该时刻天体上的时钟应为6.4年，见图1的上图。如前所述天体飞来过程中S'系测量时间为Δt1'=6y。在地球上用同一个时钟测量此过程的时间Δt1是原时，相应的Δt1'为非原时，于是11'/3.6tty这样，当天体到达乙处时，乙的时钟读数为t'=6年，地球上时钟读数为3.6年，天体上时钟读数为10年，见图1的下图。然后乙瞬时换到S''系，同时带上了自己的时钟——读数为6年，因此很自然地取S''系的时间与乙的时钟相同，即取t''=t'=6y。此刻乙的位置就在天体上，所以天体的时钟读数也不改变，即天体时钟的读数仍为10年。但在S''系观察，地球和天体的运动方向相反，地球上时钟比天体上的时钟超前，即2/6.4ttvxcy天地于是，在乙换到S''系时刻，地球的时钟的读数跳到16.4年，见图2的上图。（如果还要用洛仑兹坐标变换来计算地球与天体的时间差，应该用t'=(t-ux/c2)，因为天体运动方向的改变，造成S系S''系的地位颠倒）。由对称性，地球飞回的时间仍需要3.6年，这样，当地球到达乙处，甲、乙重逢时，地球的时钟（即甲的时钟）读数为20年。见图2的下图。于是从甲、乙的立场分析，所得结果相同，这也正是相对性原理的要求。当乙从S'系换到S''系时，实际上相当于经历一个加速度为无限大的过程，是一种极端的、理想化的情况。地球上时钟的读数的突变，实质上是由乙的时钟在引力场中变慢的效应引起。这些物理本质在这种方法中体现不出来，成为这种方法的主要缺陷。此外，加速度为无限大的过程能否实现？加速度为无限大的过程会引起什么物理效应？对时钟的影响如何？都是这个方法引起的和应该回答的问题。所以虽然这个方法自洽，但是很牵强。下面考虑乙做变速运动，就可以“光滑”地进入速度不同的惯性系，不再出现“瞬时跳跃”、加速度无限大，也不会出现时间的突变，因此对双生子问题是严格地讨论。在惯性系中讨论乙的变速运动情况是简单的，可以在狭义相对论范围内进行。难以进行的是在乙所处的变速系中的讨论，要涉及广义相对论的加速系问题。广义相对论的加速系与经典力学的加速系很不相同，因此首先介绍最简单的直线运动非惯性系。3．具有内禀刚性的直线运动非惯性系介绍在相对论中不存在牛顿力学意义上的刚性加速参考系，只有“内禀刚性”加速参考系。“内禀刚性”参考系指构成参考系的各点保持相对静止，彼此之间的固有距离在运动中保持不变。在该参考系看来自己是个刚性参考系，相当于一个刚性的坐标系框架。在别的参考系观测该参考系内沿运动方向相邻两点之间距离为动长，相对原长有洛仑兹收缩，收缩比例与其速度有关。在加速运动过程中，其速度不断改变，因此在其他参考系看来，该参考系内各点之间距离随时间不断改变，并不是刚性的，即在相对论中不存在所有参考系都承认的刚性系。所以称此参考系的“刚性”为“内禀刚性”。为讨论双生子效应，我们利用最简单的一类加速系——相对惯性系做直线运动的常加速度内禀刚性非惯性系。狭义相对论讨论两个惯性系之间的时间关系，利用的是两个惯性系之间的洛仑兹坐标变换。同样，为了讨论甲、乙的时间关系，也要用到甲、乙所在的两个参考系（惯性系和加速系之间的坐标变换）。甲留在惯性系S系中，乙作加速、匀速、减速直线运动离开甲到达某处，然后再加速、匀速、减速回来与甲重逢。乙要做加速、减速运动就要有力作用。为简单起见，设乙受恒力F作用。F与运动同向为加速，F与运动反向为减速。以乙为原点建立内禀刚性非惯性系S'系。设S系坐标为（x，y，z，t），S'系坐标（x'，y'，z'，t'）。S'系沿x轴运动。t=t'=0时两系完全重合，S'系从静止开始做加速直线运动，则S、S'系的坐标变换关系式为22200022'11axaxatccc（3）y'=yz'=z0000220'1ln12axataxatctaccccS、S'系的坐标逆变换关系式为20020''1cosh1axatcxacc（4）y=y'z=z'0020''1sinhaxatctacc其中常数a0由力F和乙的质量决定：a0=F/m0（5）m0为乙的静止质量。式中1sinh2xxxee为双曲正弦函数，1cosh2xxxee为双曲余弦函数。（3）、（4）式给出惯性系S和非惯性系S'系之间的时空坐标变换。与此对照的是洛仑兹变换，它给出两个惯性系之间的时空坐标变换。上述推导以S系为基础，确定x轴沿S'系的运动方向，于是有下面的符号规定。（1）S系看：若S'系速度（加速度）方向与x轴正向相同时，取v、a0为正；若S'系速度（加速度）方向与x轴正向相反时，取v、a0为负。（2）S'系看：若引力场方向或S系速度（加速度）方向与x轴正向相同时，取v、a0为负；若引力场方向或S系速度（加速度）方向与x轴正向相反时，取v、a0为正。由（4）式，在S系观测S'系中固定点x'在t时刻的速度为002222000'1/1'//atatxvxtaxcaxcatc（6）括号外面的脚标x'强调微分过程中x'作为常数。由此可以看出，在同一时刻t，S'系不同地点的速度不同，S'系不是刚性系。类似，在S系观测S'系中固定点x'在t时刻的加速度为3/23/222111'1/1/xaxaatcavct（7）其中aI=aI(x')=a0/(1+a0x'/c2)。由此可以看出，在同一时刻t，S'系不同地点的加速度也不同，而且S'系中固定地点x'的加速度随时间改变。在x'处t时刻建立相对S'系瞬时静止的惯性系S0系，则S0系相对S系以v运动。在S0系测量x'处t时刻的加速度，可以利用狭义相对论的加速度变换关系从S系的加速度式（5）得到，结果恰好为aI=aI(x')。因此在与x'处瞬时静止的惯性系观测，S'系中固定地点x'的加速度不随时间改变为常加速度，在这个意义上，称S'系为直线运动的常加速度内禀刚性非惯性系。由等效原理在S'参考系中的观察者认为存在一个等效引力场，放在S'系的时钟（称为固有钟）要受到引力的影响，各处时钟的快慢都不相同。用当地固有钟测量的时间间隔称为固有时。S'系中事物的时间过程和生命的节奏等实际的时间测量都是用当地固有钟进行的，是固有时，记为。乙的计时即固有时。由于固有钟受引力影响快慢不同，不可能调整同步，无法作为S'系统一的时间标准。在文献4中说明，S'系的时间坐标t'是全系统统一的不受引力影响。可以按t'的快慢在S'系各点设立相应的坐标钟，调整彼此同步作为S'系的时间标准。用坐标钟测量的时间间隔dt'称为坐标时。由于坐标时全系统统一不受引力影响，因此在S'系讨论不同地点固有时之间关系时，要先把固有时换成坐标时，再把坐标时换成另一地点的固有时。在惯性系中没有引力，固有钟即坐标钟，固有时就是坐标时。由文献4，S'系中测量同一时间间隔，固有时d与坐标时dt'的关系为d=(1+)dt'（8）当x'=0时d=dt'，所以坐标时等于x'=0处（即乙处）的固有时。下面就利用直线运动常加速度内禀刚性加速系严格讨论双