基于对偶四元数的一体化动力学

基于对偶四元数的姿轨耦合动力学1、对偶四元数表示螺旋运动对偶四元数定义为11ˆ22ONqqqqrqqqr(1)也可以描述为一个八维的向量ˆ12Oqqrq(2)其中，TT0OOrr，TT0NNrr表示位置矢量的拓展。坐标系位姿转换关系图2、单航天器姿轨一体化运动学方程航天器一般空间运动描述可把航天器相对于惯性系OXYZ的轨道和姿态运动看作其本体坐标系sbbbOxyzrNONqONroqOdrlzbOsxbXYZybp相对于惯性系OXYZ的运动，如图3.1所示。航天器质心相对于惯性系的位置矢量为r，在惯性系和本体坐标系下分量分别是ir和br。航天器的姿态四元数是q，航天器本体坐标系可看作惯性系先平移ir再转动q获得(或先转动q再平移br)，因此可得航天器空间运动的对偶四元数描述为：birqqqrqqqq2121ˆ(3-1)对上式求导，得：12ˆiiqqrqrq(3-2)代入四元数运动学方程：1122ibbbqωqqω(3-3)其中，ibω为航天器在惯性坐标系下的角速度，bbω为航天器在本体坐标系下的角速度。可改写为：111ˆ222iibbiiqωqrqrωq(3-4)即：1ˆ22iiiibbqωqrqrωq(3-5)根据四元数乘法公式0000qpqPQppqqppq，有：12iiiiiibbbrωrωωr(3-6)代入到(3-5)得到：1ˆ2211221212ˆˆiiiibbiiiiiiiibbbbiiiiiibbbiiiiibbibqωqrqrωq=ωqrqrωqωrqωrqωqrqrωqωrq=ωrrωqrq=ωq(3-7)定义一个新的对偶向量：***ˆˆˆˆ1122bibbiiiiiibbiiibbbbbbωqωq=qrqωrrωqrq=ωqrrωqωr(3-8)微分*birqrq得到：******biiiiiiddtqrrqqrqqrqqrqqrqqrq(3-9)由1*qq，得到：**0qqqq(3-10)交换得到：***qqqq(3-11)将(3-11)代入到(3-9)中得到：*******biiiiiirqqqrqqrqqrq=qrqqrqqqrq(3-12)代入12ibqωq，得到：********11221122biiibbiiibbiibiiiiiiiibrqrqqrωqωqqrq=qrqqrωqωrq=qrqqrωq=qrrωq(3-13)把(3-13)代入到式(3-8)中得到：ˆbbbbbbbbωωrωr(3-14)其中，bbω是角速度在本体坐标系下的分量。因此，得到基于对偶四元数的航天器运动学方程bbibωqqωqˆˆˆˆˆ2121(3-15)ibωˆ是在惯性系下的对偶矢量，bbωˆ是在本体坐标系下的对偶矢量，ibωˆ和bbωˆ是矢量和对偶数的复合。ibωˆ和bbωˆ的表达式为：bbbbbbbbbbbbibibibiiibibvωrωrωωvωωrrωωˆˆ(3-16)式中，ibωˆ实部ibω是航天器的角速度定义在惯性系的分量，对偶部ibv表示速度矢量在惯性系的分量。bbωˆ实部bbω是角速度定义在本体系下的分量，bbv表示速度矢量在本体系下的分量。对10*ˆˆqq求导，利用式(3-15)得到：**1ˆˆˆ2bbqωq(3-17)对偶四元数描述刚体螺旋运动与四元数描述旋转运动的性质有很多相似之处。这是由Kotelnikov转移定理得出的重要结论：相对于定点的刚体运动学的所有矢量代数法则在自由刚体运动学的旋量代数中同样成立[123]。因此，我们可将刚体旋转运动的研究方法扩展到一般性刚体运动中。3、单航天器姿轨一体化动力学方程根据Brodsky在文献[60]中的描述，刚体由许多质量元组成，与之相对应，每个质量元都有唯一的速度旋量vωωˆ，每个质量元的线动量由其对偶质量乘以速度旋量得到：ddˆˆdddAAAAAAmmmωωvv(3-18)其中，dˆdddmm为质量元的对偶质量，和对偶元相同，当算子dd被两次应用于旋量运算时，结果为0。比较某一对偶矢量ˆv的和dd运算：'ˆvvvv，''ddˆddvvvv(3-19)上述考虑也适用于引力场中作用于质量元上的力。图3.2刚体的对偶动量根据上面对偶质量的描述，牛顿第二定律可写成如下对偶形式：ˆddddˆˆdtddduvvfmmmtt(3-20)此处ffˆ是作用于m的控制力，vu是对偶线速度。如图3.2所示，刚体上位于A点的质量元ˆdm线动量为ˆˆdAAmω，ˆdm相对于惯性空间中某参考点B的对偶动量为ˆˆˆdBAAAmDω，积分可得：ˆˆˆˆdBBAAAAbmhDω(3-21)式中，,,,,,,ˆ1111BABABAzBAyBAzBAxBAyBAxddddddDd(3-22)为Hermitian矩阵，该矩阵可以从两方面解释：(1)指根据已知刚体在点A处的旋量推导刚体相对点B旋量的算子；(2)指从原点在A的系统的给定旋量到原点在B的并行系统的旋量的算子。其逆运算1*ˆˆˆˆDDDDTABBABABA。用于后面章节任意参考点的对偶速度旋量、对偶力旋量和对偶动量旋量。由于任意点A的速度旋量ˆAω可由某点O的速度旋量得到，则ˆBh还可以写为dˆˆˆddhDDωvvDωJωDvBBAAAOOAbOCOBOCBOmmmm(3-23)其中，Dd，BOCCBCOmJJDD，即+++cxxCByCOyCBzCOzcxyCByCOxcxzCBzCOxBOcxyCBxCOycyyCBxCOxCBzCOzcyzCBzCOycxzCBxCOzcyzCByCOzczzCBxCOxCByCOyJmddddJmddJmddJmddJmddddJmddJmddJmddJmddddJ(3-24)式(3-23)描述的是已知刚体在某点O的速度旋量，求刚体相对点B的对偶矢量。根据Brodsky提出刚体质量和转动惯量同样具有对偶性质[60]，可以得到刚体对偶惯量矩阵为：ddddˆˆˆddddxxxyxzyxyyyzzxzyzzmJJJmmE=JmJJJJmJMEJJ(3-25)其中，m是航天器的质量，J是航天器的转动惯量矩阵，E是3×3单位矩阵。对偶惯量也可写成6×6阶矩阵形式333330JE0Mmˆ(3-26)基于对偶惯量矩阵的定义，式(3-23)可以写成如下形式ˆˆˆˆˆBBCCOOhDMDω(3-27)其中，ˆCOD表示从点O到质心C的旋量转换矩阵，ˆBCD为质心C到任意点B的旋量转换矩阵。当速度旋量的参考点以及对偶动量的参考点同为点A，有ˆˆˆˆˆAACCAAACAACAAmmmhDMDωvDωJωDv(3-28)其中，2ACCAmJJD。当把质心C选为计算对偶动量的参考点时，上式可简写为JωvωMhCCCmˆˆˆ(3-29)上式实部表示刚体相对于质心的线动量，对偶部表示刚体的角动量。为获得牛顿—欧拉形式的动力学方程，对上式求导：AAAAtdtdhωhhˆˆˆˆ(3-30)上式计算的结果是作用于点A的对偶力旋量（力和力矩），表达式如下：ωJωvωDvDωJωDωvωωDvhωhhfAAACACAACAACAAAAAAAmmtmmmmttdtdˆˆˆˆˆ(3-31)以质心为参考点的刚体动力学方程在本体系的表达式由对(3-28)求导得：ωJωωJvωvωMωωMωMωωMhfCCCCCCCCCCCtmmtttdtdˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(3-32)ˆCCCffτ是作用于航天器的对偶力。Cf和Cτ分别为作用于航天器的力和力矩。若将航天器视为刚体，则由式(3-32)可推导出以航天器质心为参考点的动力学方程dˆˆˆˆˆˆˆdbbbbbbbbbbtFhMωωMω(3-33)4、航天器质心相对姿轨一体化运动学方程设两航天器分别为目标航天器和追踪航天器，它们的本体坐标系分别是、。两航天器相对运动的轨道和姿态可以看作是相对于的螺旋运动，使用对偶四元数对运动进行描述，表达式为：11ˆ22abbababababababaqqrqqqr(3-34)其中，baq是追踪航天器相对于目标航天器的姿态四元数；abbarrr为两航天器质心的相对位置矢量。航天器质心相对运动学方程为：bbabababbabaωqqωqˆˆˆˆˆ2(3-35)其中，bbabbabbabbabbabbabbarωrωvωωˆ(3-36)aaaaOxyzbbbbOxyzbbbbOxyzaaaaOxyzabaω、bbaω分别为追踪航天器相对于目标航天器的角速度在aaaaOxyz、bbbbOxyz坐标系下的表示。abar、bbar分别是两航天器质心相对位置矢量在aaaaOxyz、bbbbOxyz坐标系下的表示。bbaωˆ表示在bbbbOxyz坐标系下表示的两航天器相对速度旋量，可以表示为：baaababbbbaqωqωωˆˆˆˆˆ*(3-37)其中，bbωˆ、aaωˆ分别表示两航天器的速度旋量在各自本体坐标系下的表示，baqˆ表示由aaaaOxyz转换到bbbbOxyz的螺旋运动，*ˆbaq为baqˆ的共轭。5、航天器质心相对姿轨一体化动力学方程根据前面的单航天器动力学建模可知，对于刚体航天器，对偶惯量矩阵的逆可写为：111ˆddmMJE(3-39)基于单航天器动力学方程，将式(3-37)求导，并结合式(3-15)和式(3-17)，得图3.3相对运动轨道zazbyaxaXOYZraxbrbybbaaababbabaaababbbaaababbabbabaaababbbaaababbabbabaaababaaababbbaaababaaababaaababbbbaqωqωqωqωqωqωωqωqωqωqωωqωqqωqωqωqqωqqωqωωˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ**********212121(3-40)单航天器动力学方程(3-33)可改写为：11ˆˆˆˆˆˆˆbbbbbbbbbbωMωMωMF(3-41)代入式(3-40)中，得：baaababbabaaababbbbbbbbbbaqωqωqωqFMωMωMωˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ**11(3-42)上式即为基于对偶四元数建立的相对动力学方程。bbaωˆ为bbaωˆ在bbbbzyxO系中的导数，bMˆ是追踪航天器的对偶惯量矩阵，bbFˆ是作用在追踪航天器上的对偶力。bbωˆ可由式(3-37)得到，表示为baaababbabbqωqωωˆˆˆˆˆ*