人教版高中数学三角函数练习题

【巩固练习】一、选择题1.22sin2cos4的值是()A．sin2B．－cos2C.3cos2D．－3cos22.(2015重庆高考)若tan2tan5，则3cos10sin5()A、1B、2C、3D、43.（2016山东高考）函数f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx–sinx）的最小正周期是（）（A）2（B）π（C）32（D）2π4.（2016全国新课标III）若，则（）(A)(B)(C)1(D)5．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°6.在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是()A．x≤yB．x＜yC．x≥yD．x＞y7.若0αβ4，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则()A．abB．abC．ab1D．ab2二、填空题8．若则.3tan42cos2sin26425482516251tan2008,1tan1tan2cos29．已知那么的值为,的值为.10.的三个内角为、、，当为时，取得最大值，且这个最大值为.11.(2015春舟山校级期中)已知1fxx，若3cos5，则cos2f;当,42x时，sin2sin2fxfx.三、解答题12．已知函数．（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2．（ⅰ）求函数g(x)的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0．13．若2sin()4＝sinθ＋cosθ，2sin2β＝sin2θ，求证：sin2α＋12cos2β＝0.14．若已知cos435171274xx，，求sinsintan2212xxx的值。15．已知α、β为锐角，且3213222022sinsinsinsin，。求证：2223sincos,223sincos2ABCABCAcos2cos2BCA2103sincos10cos222xxxfx6【参考答案与解析】1.【答案】D【解析】22222sin2cos41cos22cos213cos23cos22.【答案】C【解析】由已知，33333cos()coscossinsincostansin1010101010sin()sincoscossintancossin555553333cos2tansincoscos2sinsin105105105102tancossinsincos5555515(coscos)(cos2101015cos)3cos010103,12sincos2510故选C3.【答案】B【解析】f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx–sinx）=2sin(x+30°)cos(x+30°)=sin(2x+60°),故f（x）的最小正周期为π，选B.4.【答案】A【解析】由于3tan4，22222cos4sincos14tan64cos2sin2sincostan125，故选A.5.【答案】A【解析】两式平方后相加得sin(A＋B)＝12，∴A＋B＝30°或150°，又∵3sinA＝6－4cosB2，∴sinA2312，∴A30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.6.【答案】D【解析】∵πA＋B＞2，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D.7.【答案】A【解析】sinα＋cosα＝2sin()4，sinβ＋cosβ＝2sin()4，因为0αβ4，所以4α＋4β＋42，所以sin()sin()44，所以ab，因此选A.8.【答案】【解析】9.【答案】【解析】10.【答案】【解析】当，即时，得11.【答案】425，2cosx200811sin21sin2tan2cos2cos2cos2cos2222(cossin)cossin1tan2008cossincossin1tan17,3922417(sincos)1sin,sin,cos212sin223390360,22cos2coscos2sin12sin2sin2222BCAAAAA22132sin2sin12(sin)22222AAA1sin22A060Amax3(cos2cos)22BCA【解析】由已知1fxx，3cos5，得到：27cos22cos125当,42x时，sin2sin21sin21sin2sincossincossincossincos2cos2fxfxxxxxxxxxxxx12.【解析】（Ⅰ）2()103sincos10cos22253sin5cos510sin56xxxfxxxx因为.所以函数f(x)的最小正周期T=2π．（Ⅱ）（i）将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到g(x)=10sinx+5-a的图象．又已知函数g(x)的最大值为2，所以10+5-a=2，解得a=13．所以g(x)=10sinx-8．（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0-8＞0，即．由知，存在，使得．由正弦函数的性质可知，当时，均有．604sin5x435200304sin500,x4sin5x742cos21255f因为y=sinx的周期为2π，所以当00(22)()xkkkZ，时，均有．因为对任意的整数k，，所以对任意的正整数k，都存在正整数，使得．亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0．13．【解析】由2sin(4＋α)＝sinθ＋cosθ得2cosα＋2sinα＝sinθ＋cosθ，两边平方得2(1＋sin2α)＝1＋sin2θ，即sin2α＝12(sin2θ－1)①由2sin2β＝sin2θ得，1－cos2β＝sin2θ②将②代入①得sin2α＝12[(1－cos2β)－1]得sin2α＝－12cos2β即sin2α＋12cos2β＝0.14.【解析】解法1：∵，cos435171274x∴3542x，则sin445x从而coscosxx44coscossinsin444435224522210xx4sin5x00022213kk002,2kxkk4sin5kx∴，sincostanxxx1721072故原式2212sincossintanxxxx27210210272101728752解法2：原式2212sincossintanxxxx21124sincostantansintanxxxxxx∵，∴1712745342xx又cossin435445xx，∴，即tan443x则sinsin2242xx27cos22cos14425xx故原式72543287515.【解析】证法1：由已知32122sinsin3222031222322322sinsinsinsincossinsinsincos∴∴··coscoscossinsincossinsinsincos2223302∵α、β为锐角，∴0232∴22证法2：由已知条件得：3213222sincossincossin又∵α、β为锐角∴22，即22