运用数形结合解决数学问题

本科毕业论文（设计）题目：运用数形结合解决数学问题学生：支学成学号：201040510258学院：数学与金融学院专业：数学与应用数学入学时间：2010年9月12日指导教师：张德然职称：教授完成日期：2014年4月18日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《运用数形结合解决数学问题》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。承诺人（签名）：2014年月日运用数形结合解决数学问题摘要:数与形的结合在研究、解决数学问题中有着广泛的应用。它的思想可以把抽象的代数问题具体化，把数量关系与空间图形结合起来。本文通过对几个具体问题的研究来阐述数形结合思想的应用。关键词:数形结合思想；直观；数学教学；应用UsingthenumberformcombiningsmartsolutionofmathematicalproblemsAbstract:ThecombinationofNumbersandformsintheresearch,hasbeenwidelyusedinsolvingmathproblems.Itsideascanbeembodied,theproblemofabstractalgebracombinequantitativerelationandspatialgraphics.Inthispaper,throughtheresearchonseveralconcreteproblemstoillustratetheapplicationofseveralformcombiningideas.Keywords:Countstheshapeunionthought，Intuitively,Mathematicsteaching,Application目录1引言.....................................................12数形结合思想的应用...................................................22.1解决集合问题.....................................................22.2解决函数问题.....................................................22.3解决方程与不等式的问题...........................................42.4解决三角函数问题...................................................62.5解决线形规划问题....................................................72.6解决数列问题........................................................82.7解决抛物线问题.....................................................103结束语...............................................................12参考文献...............................................................12致谢...................................................................1311引言数学思想可以理解为把一些自然界世界中的空间特征形式以及对应的数量关系。通过人们的观察思考反映到人的思想中，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，再经过人的各项活动以及对已有知识的认识进行再次理解归纳，并进而上升到一种理论知识。通过对应的数学事实来对其中的数学理论进行本质的深刻认识。在实际的数学研究中，对应的数学问题中，数学关系的思想、方法是紧密结合在一起的，不容分开的。数学方法与数学思想是彼此依附，相互作用的。在多种数学思想里面。有着一类很重要的思想，这种思想体现着我们知道的对应基础数学中的某些特性，即奠基性和总结性的对应的思维成果，这些思想我们在实际研究中有普遍的用处，在此可以称之为基本数学思想。当然我们在此是利用中学教学的对应知识来进行研究理解，所以归纳是，在此是以中学知识进行理解。我们知道在中学阶段存在的对应基本数学思想包括很多。在此举例有分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、局部与整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。我们知道，在学习与解决数学题目中，对应的中心教学中处处蕴含着基本数学思想。对应这些思想如果可以很好地运用在学生的学习中，深入其对应的数学的解题的思维活动中，培养出一种有效的学习方法，这样就真正的可以在发展或者提升学生解决数学能力的方面，起到一种或一套学习思路、方法性的能力。对于我们接触、了解的的数学思想方法中，相对来说数形结合思想是一种很重要的方法，它不仅仅给我们提供了一种解题套路，同时它是贯穿于整个中学数学的教学课程。本文就针对数形结合思想在数学教学中的一些实际应用，结合一些对应的类型进行简单谈一下我自己的看法。我国著名数学家华罗庚在其一段有名的著作中曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”。“数”与“形”反映了事物两个方面的特性。数形结合是一种行之有效的解决数学问题的数学思想方法。数形结合的应用对应着两种基本的形式。其中一点就是我们可以把“形”的对应的问题进行转化，对应用数量关系去解答数学问题，同时运用其他知识进行讨论。这样它可以把问题从一个角度转化成其他的角度，把无形的转化为有形的解决形的问题，把形的问题转化成数的关系，或转化成量的关系，进行量的问题解决。当然简单归纳成一句话，就是把复杂的问题简单话，用更形象的关系去反应对应的问题。在解决空间几何中就常常可以看到利用数量关系去解答图形问题的对应应用。对应的第二点，就是把数的问题转化到形的性质中进行研究解决。这样可以把问题进行直观化，帮助我们理解和容易接受的明显优势。在研究问题过程中，数形结合在具体解题过2程中会有更加广泛的实质应用。如在解决集合问题。求函数的值域和最值问题。解方程和解不等式问题。三角函数问题，解决线性规划问题，解决数列问题，解决解析几何问题中都有体现。运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。下面就数形结合思想在集合问题、函数、方程、不等式、线性规划、数列及解析几何中的应用做一个系统的分析。2数形结合思想的应用2.1解决集合问题在研究一些数学问题中，进行集合运算常常会借助对应的数轴、Wennm图来处理呈现对应的集合的交、并、补等运算。从而使复杂的问题得以更加简单化，使运算更加快捷、明了，更快速有效。例1外语学校有英语(论坛)、德语、俄语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教俄语的有6人，能教英、俄语的有5人，能教德、俄语的有3人，能教英、德语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教德语的有（）。A．4人B．5人C．6人D．7人解：B。此题应该用文氏图法，将能教英语、德语、俄语的教师分别设为不同的集合。先设所有集合的交集为2，依题意得文氏图（见下图）。由图可得只能教法语的老师为：27－8－6－3－2－2－1＝5人。例2已知集合0,4A,2,3B,求AB。解：在解题中，当我们遇到对应的两个有限集合,可以借用数轴把这些表示出来,这样就可以更加清楚有效的知道结果。如图2,通过图像我们不难可以得出A∩B=[0,3]。图22.2解决函数问题英8326日21法3利用对应的图形的对应直观性、形象性，来研究存在一定关系的对应函数的取值范围(或最值)。求对应的变量的对应的函数值的范围，利用对应数形结合思想去考查对应的化归，转化能力、逻辑思维能力。当然这是函数教学中的一项重要培养方面。例3函数yfx与ygx的图象如图所示，则函数yfxgx的图象可能是()ABCD解：显然根据对应的函数y=f(x)和y=g(x)的图象可以得出，对应函数y=f(x)g(x)的有效定义域为x≠0，从而排除C、D；又由函数y=f(x)与y=g(x)的图象知它们分别是偶函数和奇函数，从而函数y=f(x)g(x)是奇函数，从而排除B，故选A。例4已知函数yfx的对应图象如下图@所示，则对应的函数sin2yfxx在0,上的对应的大致图象可以表示为()。@解：对于本题，可采用取特殊值验证排除法。令4x，sin0244yf，2O2xy1-1y=f（x）y1-1O1x-1y=g（x）OxyOxyOxyOxyO2xy1O2xyO2xyO2xyO2xyABCD4排除C、D；令34x，33sin0244yf，排除B。选择A.2.3解决方程与不等式的问题在我们已知的在解决方程的题目时，可以把求方程的根的问题转化成对应函数图像的交点的对应问题。当然在解决对应的不等式问题方面，我们可以根据对应的题目中的条件及其对应的数量关系出发，结合对应的相关关系。最后来分析其对应的意义，对应从其中的图形中来看出我们对应的解题的具体思路。例5已知方程22(43)xxpx，有4个不相同的实数根,根据题意，求对应实数p的有效的取值范围。解：设2224343yxxxx与ypx这两个对应的函数在同一直角坐标系内,分别画出这两个函数的对应的图像,如图5。根据题意可以得出：图5(1)对应的直线ypx与243yxx,1,3x在可以相切时原方程有3个根。(2)ypx与x轴在重合时,原方程有两个不同的解。在对应满足条件的直线ypx应在这两者之间来回摆动,由:pxyxxy)34(2得2430xpx,再由0得,423p,当423p时,3x1,3舍去,所以对应的有效实数p是0423p。例62log0axx,在10,2内恒成立,求对应a的的取值范围?5解：原对应的不等式可转化为2logaxx，10,2x，设21yx与2logayx。在对应的坐标系可以作出21yx，在定义域10,2x的对应图像，如图知当12x时，2114yx，当然,当10,2x时，114y就对应会恒成立。①当1a时,在10,2上2logayx图像(如图6)在21yx的图像的下面,当然对应不符合题意。图6②当01a时,2logayx在区间对应10,2上的对应图像（如图7）是单调减函数。只需要对应的214y，就可以使得2logaxx，10,2x可以恒成立。图76故11log24a，12log4a，知道411216a,综上可得出1,116a。把对应的方程不等式有效的转化为对应函数,。利用函数图像解决对应的问题是数形结合的一种有效的途径。2.4解决三角函数问题在三角函数中，利用数形结合的思想，在解决一些抽象问题时可以带来极大的方便，也容易使我们理解，把一些抽象的问题能进行形象化。例7设,42ppx，求证:csccot21xx解：根据对应的条件进而联想到我们熟悉的等腰三角形。因此可以构造一个等腰直角三角形ABC,如图8，设CDBx,利用2ADDBAB，可得csccot21xx。图8例8试求方程80sinxx的实根的个数以及所有实根的和。解:解决这类问题宜从函数的角度来考虑。由80sinxx得sin80xx。∴1180x，即2626x。()sinfxx设()sinfxx，()(