第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题-C

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C一、填空题（每小题10份，共80分）1.计算：3.2-2.9520.3+=_____120.252+2.3-145【答案】1【考点】计算：分数小数综合运输【解析】0.250.60.750.912331原式2.在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字，则“数学竞赛”所代表的四位数是________．【答案】1962【考点】组合：数字谜【解析】遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析：2024竞赛数学竞赛赛赛个位为4，所以赛为2或7，若赛为7则会进位，和的十位只能是奇数，所以2赛；竞竞个位为2，若2竞，原式为1220122014，有重复数字；所以6竞，1962数学竞赛．3.如下图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD:EF为________．【答案】2:1【考点】几何：沙漏模型【解析】ACBE∵∥由沙漏模型可知::2:1FDEFAFFB4.下图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米，水平爬行的速度为每秒4厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？【答案】40秒【考点】组合：最值问题【解析】要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上、向下爬行的最短路程是1226236厘米，水平爬行的路程是1232240厘米，所以至少用时36236340440秒5.设a，b，c，d，e均是自然数，并且abcde，abc4d5e300，则ab的最大值为________．【答案】35【考点】组合：最值问题【解析】a和b是五个数中最小的两个，要想ab最大，则希望这五个数尽量接近，先估算再局部调整；3001234520，则先让20c．而18219320421522310，大于300，调整得：17218319420521295，离300差5，则最后让5522e即可．所以ab的最大值171835．也可通过计算证明ab最大只能取到35：300234523(1)4(2)5(3)1514266(1)7267()32()322abcdeabbbbabaabbabbab可得113515ab6.现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一期向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要________个小时．【答案】4【考点】应用题：工程问题【解析】设注满丙池用x小时，则注满乙池用时4x小时，注满甲池用时9x小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得：22221114994149213113362131336366xxxxxxxxxxxxxxxxxx所以注满丙池的三分之二需要2643小时注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的．而本题解法比较巧妙，设丙池的时间，最终只需要解236x即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路．7.用八块棱长为1cm的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如下图所示，则共有________种不同的堆法．（经过旋转能重合的算一种堆法）【答案】10【考点】计数：分类枚举【解析】法一：（先每列放几块讨论）可以直接分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下4块的方法即可44000，1种；400043100，3种，3100，1300（这两个不一样，此题的易错点），300142200，2种，2200，200242110，3种，2011，0211，211041111，1种，1111．共：1323110种法二：（按每层放几块讨论）底层已用了四块小方体，考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况．见下图，第二层有一块，只有1种堆法；第二层有两块，有5种堆法；第二层有三块，有3种堆法；第二层有四块，只有1种堆法．总计有10种堆法．8.如图，在三角形ABC中，AF2BF，CE3AE，CD4BD，连接CF交DE于P点，则_____EPDP【答案】158【考点】几何：风筝模型【解析】PFEDCBA连接DF和EF．因为2AFBF，所以13BCFABCSS△△,又因为4CDBD，441455315DCFBCFABCABCSSSS△△△△；同理可得12EFCABCSS△△；所以11524815ABCEFCDCFABCSSEPDPSS△△△△．注：填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.有三个农村在一条公路边，分别在下图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5元，从C到A方向每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？【答案】A处【考点】应用题：分类讨论【解析】讨论变化趋势，比较A、B两点设仓库可知A→B运费越来越高，而B→A则运费越来越低，同理可知C→B运费越来越低，而B→C则运费越来越高．具体比较三点：若建在A处，运费为：6050012001105001107000（）元若建在B处，运费为：6012001505001.5109500元若建在C处，运费为：5050012001.51012001.514550（）元所以建在A处运费最低．10.把1220122013,,...,,2014201420142014中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？【答案】468【考点】数论：因数倍数【解析】全部分数都化成最简分数分母还是2014，则说明原分子和2014互质，接下来计算1~2013中，与2014互质的数有有多少个即可，这一步有两种方法：法一：（容斥原理）201421953，201310062，2013=10519，20133753，2013522，201318253，201311953；所以1~2013中，与2014互质的数有201310061053752181936个；法二：（利用欧拉公式直接计算）因为201421953，所以1~2013中，与2014互质的数有111201411193621953个；而这936个数中，只要有一个2014a是最简分数，一定也有一个20142014a也是最简分数，两个一组和为1（如：12013120142014；32011120142014），所以他们的和为9362468．11.上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的（a），（b），和（c）．现有5块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木在地面上组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（下图（d）是其中一种摆放方式）．【答案】13【考点】计数：分类枚举、乘法原理【解析】先拆分5，再算每种情况有多少种摆法即可两块：532,2种三块：5311,3221,3种种四块：52111,4种五块：511111,1种共：2334113种．12.某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数【答案】160，208，400，2848【考点】数论：因数倍数、分类讨论【解析】设这个数为a，则239am，2144an2239144105mnmnmnaa1051105335521715（1）1105253,5353392848ma；（2）335219,191939400ma；（3）521213,131339208ma；（4）715211,111139160ma；所以a可能为160，208，400和2848．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13.如图，圆周上均匀地标出十个点，将1~10这十个自然数分别放到这十个点上，用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1~10分成两组，每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式，对于每种分组都有一个两组数和的乘积．记五个积中最小的值为K，问所有的摆放中，K最大为多少？【答案】756【考点】组合：最值问题、构造与论证【解析】1231055，共55要分成两组，则两组的和一定为55，由最值原理：和一定，差小积大可知，当这两组的和分别为27、28时，乘积为2728756最大．而K要取到756，需要构造出一种摆法能实现五个分组方式中，两个组的和都为27、28．经尝试，可以实现，构造方法不唯一，如图所示为两种不同的情况．947611038529854110763214.将每个最简分数nm（其中mn,为互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同；（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：2013220147和分别被染成了什么颜色？【答案】20132014染成蓝色；27染成红色【考点】组合：操作类问题【解析】由规则（1）和（2）得到结论，奇数都被染成红色，偶数则被染成蓝色，再由规则（3）可得到结论，不为1的奇数的倒数是蓝色，偶数的倒数是红色．1120142013201312013201320132014红蓝红蓝117221112227蓝红蓝红